（その８）の考察を平行四辺形に当てはめるならば，（その２）（その３）（その５）の考察は誤りということになる．これらは（その４）で考えたようなタイプの回転する正方形の問題の解ではあっても，別問題

　正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．

［Ｑ］このとき犬のたどる軌跡は？

の解ではないのである．

　今回のコラムではそれを訂正して掲載したい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　一般に与えられた平行四辺形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの平行四辺形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝５／９

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／２

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝５／９

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝３／２　→　Ｍ＝５／２

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝５

となる．

　０＜ｋ＜１のときはもとの平行四辺形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもと平行四辺形より大きくなり，ｋ＝３／２のときには５／２倍になるが，与えられた平行四辺形の各辺を逆方向に延ばすと大きな平行四辺形の対辺を１：２に内分する点と交わるのである．

　ｋ＝２の場合，拡大三角形の１辺の長さは√５になる．ここで，余弦定理

　　１^2＝２^2＋（√５）^2−２・２・√５ｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝２／√５

　θがａｒｃｃｏｓα進む毎にｒの値が√５倍になる→Ｂ＝√５の１／ａｒｃｃｏｓα乗

もし，ｒ＝ａｅｘｐｂθの形であれば

　　Ｂ＝ｅｘｐｂ＝√５の１／ａｒｃｃｏｓα乗

　　ｂ＝１／２ａｒｃｃｏｓαｌｏｇ５

　この結果は正方形・長方形に限らず，任意の平行四辺形に対して成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】まとめ

　一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

となる．

　０＜ｋ＜１のときはもとの三角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの三角形より大きくなり，ｋ＝２のときには７倍になる．

　同じく，四角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの四角形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になる．０＜ｋ＜１のときはもとの四角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの四角形より大きくなり，ｋ＝３／２のときには５／２倍になる．

　各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの図形の三角形小部分の面積のｋ（ｋ−１）倍になるが，もとの三角形は３重に，もとの四角形は２重に数えられているので，それぞれ，

　　３ｋ（ｋ−１）＋１

　　２ｋ（ｋ−１）＋１

になるというわけである．

　しかし，任意のｎ（≧５）角形では，与えられた図形に数えられない部分が生ずるので，同様の公式は存在しないことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝