アペリの論証は謎の二階漸化式から始まります．そして，一見すると関係なさそうな問題が，あっと驚く洞察によって，思いもよらない解き方に合体していくのです．

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　アペリが行ったことは，より正確には，二階漸化式

　　(n+1)^3ｕn+1=(34n^3+51n^2+27n+5)ｕn-n^3ｕn-1

を満たす２つの数列｛ａn｝｛ｂn｝を構成したことです．たとえば，

　　ａn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2

　　ａ0＝１，ａ1＝５，ａ2＝７３，ａ4＝１４４５，ａ5＝３３００１，・・・

　ｂnに対する式も，より複雑ではありますが，同様に構成することができます．補助数列

　　c=Σ1/m^3+Σ(-1)^(m-1)/2m^3(m,n)(n+m,m)　　

を用いて

　　ｂn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2c

　　ｂ0＝０，ｂ1＝６，ｂ2＝３５１／４，ｂ4＝６２５３１／３６，ｂ5＝１１４２４６９５／２８８，・・・

　　｜ｂn／ａn−ζ（3）｜＜１／ｎ^2

であるが，それよりもずっと速く収束する．漸化式

　　(n+1)^3ｕn+1=(34n^3+51n^2+27n+5)ｕn-n^3ｕn-1

を満たすことからもっと正確にそれを計ると

　　｜ｂn／ａn−ζ（3）｜〜１／ａn^2

となるが，これは素数定理

　　π（ｎ）〜ｎ／ｌｎｎ

匹敵する重要な結果である．

　ここで，ａnの大きさは漸化式より，ｎが大きくなると

　　ａn＋ａn-2＝３４ａn-1

に従うが，これより

　　ａn〜（１７＋１２√２）^n＝（１＋√２）^4n

　この漸化式を満たす任意の数列は，

　　Ｃα^(±n)／ｎ^(3/2)

　　（α＝１７＋１２√２＝（１＋√２）^4はｘ^2−３４ｘ＋１＝０の根）

で指数的に増加（減少）することより，直ちに

　　ｂn／ａn　→　ζ（3）

が示されます．

　このあとのアペリの証明には背理法が用いられています．ζ（3）が有理数だとする．約分した結果の分母をｄとすると

　　ｅ^3＝２０．０８・・・，（１＋√２）^4＝３３．９７・・・

より，分母が

　　（ｅ^3／（１＋√２）^4）^n→０

すなわち，ζ（3）が有理数だとすると，１より小さい正の整数ができてしまう（矛盾）．

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【１】まとめ

　アペリの証明の要所は

　　｜ｂn／ａn−ζ（3）｜〜１／ａn^2

を使ったところにある．

　無理数の有理数近似（ディオファントス近似）

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／λｂ^2

を参照されたい．

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