ＰkまわりのＱの数についてはわかっていて，それがｆ0公式に繋がったのであるが，Ｐ0〜Ｐk-1まわりのＱの数を直接求める方法がほしいところである．

　しかし，見通しがつかず，双対多面体から間接的に求めてみたいと思う．

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【１】双対

　ｋ次元胞数をｆkとおく．

　　ｎ次元正軸体：ｆk＝（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

　　ｎ次元正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　正単体の双対は正単体であるが，正軸体の双対は立方体であるから，ｋ→ｎ−ｋ−１と置換すると

　　ｎ次元立方体：ｇk＝（ｎ，ｋ）２^(nｰk)

が得られる．

　また，ひとつの稜線を構成する点の数をｋ1（常に２），ひとつの多角形を構成する辺の数をｋ2，・・・とおくと，ｎ次元正軸体は

　　（２，３，４，・・・，ｎ，２^n）

ｎ次元正単体は

　　（２，３，４，・・・，ｎ，ｎ＋１）

になる．ｎ次元立方体では

　　（２，４，６，・・・，２（ｎ−１），２ｎ）

のように表記される．

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【２】ｆ0公式

　Ｐkまわりのｆ0公式は，

［１］点ＱがＰkにあるとき

　　ｆ0＝Ｇkｆk，　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｋ＋１）＝１

［２］点ＱがＰjＰkにあるとき

　ＰjＰk（ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかに一致する．

　当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｆk

　　ｊ＝ｋ−１ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｊ＝ｋ−２ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ−２）＝（ｋ＋１，２）＝ｋ（ｋ＋１）／２

となる，

［３］点ＱがＰiＰjＰkにあるとき

　ＰiＰjＰk（ｉ＜ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかとｊ次元胞の中心Ｐjからｉ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｊ次元胞は何個のｉ次元胞で構成されているかに依存する．

　すると，当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｆk

　　ｊ＝ｋ−１ならば（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｉ＝ｊ−１ならば（ｊ＋１，ｊ）＝（ｊ＋１，１）＝ｊ＋１

となり，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）＝（ｋ＋１）（ｊ＋１）＝ｋ（ｋ＋１）

となる．

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【３】双対版のｆ0公式

　Ｐkまわりのｆ0公式は，

［１］点ＱがＰkにあるとき

　　ｆ0＝Ｇkｆk，　　Ｇk＝（ｋ，ｋ）２^(kｰk)＝１

［２］点ＱがＰjＰkにあるとき

　ＰjＰk（ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかに一致する．

　当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ，ｊ）２^(kｰj)

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｆk

　　ｊ＝ｋ−１ならばＧk＝２（ｋ，ｋ−１）＝２ｋ

　　ｊ＝ｋ−２ならばＧk＝２^2（ｋ，ｋ−２）＝２ｋ（ｋ−１）

となる，

［３］点ＱがＰiＰjＰkにあるとき

　ＰiＰjＰk（ｉ＜ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかとｊ次元胞の中心Ｐjからｉ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｊ次元胞は何個のｉ次元胞で構成されているかに依存する．

　すると，当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ，ｊ）２^(kｰj)（ｊ，ｉ）２^(j-i)

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｆk

　　ｊ＝ｋ−１ならば（ｋ，ｊ）２^(kｰj)＝２ｋ

　　ｉ＝ｊ−１ならば（ｊ，ｉ）２^(j-i)＝２ｊ

となり，

　　Ｇk＝（ｋ，ｊ）２^(kｰj)（ｊ，ｉ）２^(j-i)＝４ｋ（ｋ−１）

となる．

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