正多角形面体はザルガラー多面体あるいはジョンソン多面体という別名でも呼ばれていて，正多面体（プラトン体），準正多面体（アルキメデス体），角柱，反角柱を除くと９２種類存在する．デルタ多面体やミラーの多面体も正多角形面体に含まれる．

　１９６６年，ザルガラーは正多角面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在することをコンピュータを使うことによってその証明を与えた．アメリカのジョンソンも独立にこの分類を完成させている．その証明では凹面や曲面を排除するのがいかに大変だったかが容易に推測されるところであろう．

　ジョンソン・ザルガラー多面体（正多角形面体）は面は正則（正多角形）ではあっても，頂点は等価（すべての頂点の周りが一定）ではない．頂点の等価性を犠牲にして面の正則性にこだわったのが，正多角形面体なのである．

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【１】ＪＺ多面体の分類

　正多角形面体や一様多面体をすべて分類することは単なる理論上の興味にとどまらず，数学の他分野とも面白い関連があります．

　デルタ多面体やミラーの多面体もジョンソン・ザルガラー多面体に含まれます．９２種類もあるザルガラー多面体を整理するには，「分解可能性」という考え方を取り入れると便利です．

　たとえば，正多面体のうちで分解不可能なものは正４面体（Ｍ1），正６面体（Π4），正１２面体（Ｍ15）の３種類です．正８面体は２つの正４角錐の合成であり，正２０面体は２つの正５角錐と正５角反柱の合成です．

　ジョンソン・ザルガラー多面体の多くは，正多角形面体を互いにつなぎ合わせることで作ることができます．ジョンソンは正多角形面体に分けることができない分解不可能な多面体を基本多面体と呼びました．プラトン立体とアルキメデス立体の破片体以外の基本多面体は８個あります．

　　［参］関口次郎「多面体の数理とグラフィックス」牧野書店

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【２】ＪＺ多面体の元素定理

　分類不可能なザルガラー多面体（基本多面体）は，角柱（Π），反角柱（Ａ）を除くと２８種類存在することが知られています（Ｍ1〜Ｍ28）．正多面体，準正多面体や分解可能なザルガラー多面体は角柱，反角柱を除くとこれら２８種類から合成することができます．

　結局，９２種類あるＪＺ多面体は

　　Ｍ1−Ｍ15，Ｍ20−Ｍ25，Ｍ28（２２種類）

　　Π3-Π6，Π8，Π10（６種類）

　　Ａ4-Π6，Ａ8，Ａ10（５種類）

の３３種類から合成することができます．すなわち，ＪＺ多面体の元素数は多くても３３なのです．（おそらく，ちょうど３３なのでしょう）．

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【３】ＪＺ多面体と空間充填

　正三角柱を切断して側面が正方形の２つの正三角柱を作り，正方形面に沿ってねじって貼り合わせるとジョンソン多面体Ｊ26を得る．この多面体も単一空間充填多面体として知られている．

　ついでにいうと，正八面体は２つの正四角錐（Ｊ1）にわけることができる．また，Ｊ1を立方体のひとつの面上に貼るとＪ8，または二つの反対側の面上に貼るとＪ15ができる．正三角錐を正三角柱のひとつの面上に貼るとＪ7，または二つの反対側の面上に貼るとＪ14ができる．したがって，Ｊ1＋正四面体，Ｊ8＋正四面体，Ｊ15＋正四面体，Ｊ1＋切頂立方体，Ｊ1＋立方八面体，Ｊ7＋正八面体などは空間充填可能となる．

　小菱形立方八面体の中央部分の八角柱を切り離し，上下の帽子（Ｊ4）を２つの異なるやり方で貼り合わせるとＪ28，Ｊ29を作ることができる．ここで，小菱形立方八面体について一言．もし上の帽子を４５°回転させると新しい図形Ｊ37を得ることができる．それは頂点（３，４，４，４）をもつ準正多面体（擬小菱形立方八面体，ミラーの多面体）であるが，１９３０年にやっと発見されている．あるいは，立方八面体を赤道部分で切り離し，上下の帽子（Ｊ3）をねじった形（Ｊ27）を得ることもできる．これより，Ｊ3＋正八面体，Ｊ3＋Ｊ1，Ｊ3＋Ｊ4＋立方体，Ｊ4＋正四面体，Ｊ4＋Ｊ1＋正四面体なども空間充填可能となる．

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　以上の多面体はアルキメデス立体やアルキメデス角柱に分解されるのですが，面正則多面体に切り分けることのできないジョンソン立体による空間充填も紹介しておきます．

　Ｊ91は４個の正五角形面，２個の正方形面，８個の正三角形面をもつ双月形双円形体として知られており，菱形１２面体と同じ２回回転対称性をもっています．Ｊ91の正三角形面を合わせるように繋いでいくと，立方体と正十二面体の隙間が現れます．すなわち，Ｊ91・立方体・正十二面体の３種類の立体で空間充填することが可能であることがわかったのですが，これまで知られていなかった空間充填例が見つかったことは奇跡的といってもよく，これこそ非常に単純だが深淵な数学的発見が今日なお可能である一つの例となっているのです．

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【４】雑感

　ＪＺ多面体がちょうど９２種類あるということは，（偶然の一致であるが）自然にできる化学元素である水素からウランまでの９２種類に対応している．

　周期表もあればもっと面白いのであるが，「超ウラン元素」の存在を信じている人がいる．わたしもそのようなひとりであるが，ジョンソン・ザルガラー多面体は全部で９２種類あるという結論には疑いを抱いている人は案外多いのかもしれない．９３番目，９４番目，・・・のＪＺ多面体ということになれば一つの発見であろう．それはとんでもない性質をもつに違いない．

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