■相補的数列(その1)

 レイリーの定理(ヴィノグラードフの定理)とは「α,βを1/α+1/β=1を満たす無理数,[]をガウス記号とするとき,2つの数列{an}={[nα]},{bn}={[nβ]}は共通項がなく,併せるとすべての整数1,2,3,・・・を与える.」というものです.

 1/α+1/β=1→β=α/(α−1)より,αとβは両方とも有理数か両方とも無理数のどちらかですか,両方とも無理数のとき,整数を分割するわけです.すなわち,実数αのスペクトルを,整数の集合

  Spec(α)={[α],[2α],[3α],・・・}α

で定義すると,α,βが無理数で1/α+1/β=1を満たすとき,そのときに限り,Spec(α)とSpec(β)は整数を分割します.たとえば,ビーティ数列

  ak=[nτ]=1,3,4,6,8,9,11,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

これらはどんな整数に対しても重複も除外もされないのですが,まずはその証明から.

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【1】ヴィノグラードフの定理の証明

 逆にいうと,[αx]と[βy]を合わせると自然数全体が重複なしに表されるものとする,それはα,βは無理数で1/α+1/β=1が成り立つとき,そのときに限ることを証明してみましょう.

[1]条件の必要性

 [αx]≦Nとなるようなxの個数は,N/α+λ  (0≦λ≦C)

 [βy]≦Nとなるようなyの個数は,N/β+μ  (0≦μ≦D)

という形に表される.ただし,C,DはとものNに無関係な定数である.

 N/α+λ+N/β+μ=Nの両辺をNで割ってN→∞とすれば,

  1/α+1/β=1

が得られる.もし,αが有理数α=a/b  (a>b>0)と書けたとすると,1/α+1/β=1より,[αb]=[β(a−b)]が出てくる.

[2]条件の十分性

 条件が満足されていると仮定する.cを正の整数として,x≧c/α,y≧c/βを成り立たせる最小の整数x,yをそれぞれ

  x0=c/α+ξ,y0=c/β+η  (0<ξ,η<1)

とおく.x>x0→[αx]>c,y>y0→[αx]>c.また,αξ,βηは無理数である.

 x0+y0=c+η+ξであるからξ+η=1.したがって,αξ/α+βη/β=1である.ゆえにαξとβηのうちの一方,そして一方のみが1より小さい.ゆえに[αξ]と[βη]のうちの一方,そして一方のみがcに等しい.

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【2】別証

  w<1,am=[m/w],bm=[m/(1−w)]

とする.整数kを数列amの1項とすると

  m/w−1<k=[m/w]<m/w

  m−w<kw<m

一方,整数kを数列bmの1項とすると

  m<kw<m+1−w

となるmが存在する.

 これらは完全に相補的である.すなわち,与えられた整数kはamかbmのいずれかの項である.

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【3】発展?

(Q)Spec(α),Spec(β),Spec(γ)が整数を分割するような実数α,β,γは存在するでしょうか?

(A)不可能(存在しない).

 レイリーの定理は,

  1/α+1/β+1/γ=1

かつ

  {(n+1)/α}+{(n+1)/β}+{(n+1)/γ}=1

のとき,そのときに限り3分割が起こることを示している.

 しかし,ワイルの一様分布定理から,δが無理数のとき,{(n+1)/δ}の平均値は1/2である→矛盾.δが有理数(m/n)ならば,平均値は3/2−1/(2n)→矛盾.δが整数の場合もうまくいかない.すなわち,存在しないことを示している.

 相補的数列となるのは,

[1]2系列

[2]1/α1+1/α2=1

[3]α1は無理数

の場合に限られるのである.

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