［１］αとβが代数的数，ｑが有理数ならば

　　１／αは代数的数

　　ｑ＋α，ｑαは代数的数

　　α＋β，αβは代数的数である．

［２］αとβが超越数ならば

　　１／αは超越数

　　α＋β，αβは超越数とは限らない．

［３］αが代数的数，βが超越数ならば

　　α＋β，αβは超越数

　しかしながら，代数的数とは違い，超越数は加法と乗法について閉じていない．πとｅは最も有名な超越数であるが，そのため，π＋ｅ，πｅ，π／ｅ，π^ｅ，ｅ^π，π^π，ｅ^ｅがどうなのかはわからない．

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　π＋ｅ，πｅは無理数であるかどうかさえわかっていないが，少なくとも一方は無理数であることは証明できる．

　π＋ｅ，πｅのどちらも有理数であるならば，

　　ｘ^2−（π＋ｅ）ｘ＋πｅ＝０

の根であることより，πとｅは代数的数になるが，そうでないことはわかっている．

［Ｑ］π＋ｅ，π−ｅの両方が代数的数であることはあり得ないことを証明せよ．

［Ａ］代数的数は加法と乗法について閉じている．もしそうだとしたら，（π＋ｅ）＋（π−ｅ）＝２πも代数的数であることになり矛盾．

［Ｑ］πｅ，π／ｅの両方が代数的数であることはあり得ないことを証明せよ．

［Ａ］代数的数は加法と乗法について閉じている．もしそうだとしたら，（πｅ）・（π／ｅ）＝π^2も代数的数であることになり矛盾．

［Ｑ］π＋ｅ，πｅのうち，少なくとも一方は超越数であることを証明せよ．

［Ａ］？

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