ζ(1)は発散し，オイラーはζ(2)＝π^2／６を証明した．すべての偶数ｓに対しζ(s)の値は無理数であるが，アペリは１９７９年にζ(3)が無理数であることを証明した．

　　１＋１／８＋１／２７＋１／６４＋・・・・≠ｐ／ｑ

　ボイカーズ（ブーケルス）はアペリとはまったく違うアイデアを使って独自の証明を打ち出した．

　その後，２０００年にリボールが無限個の奇数ｓに対しζ(s)が無理数であることを証明した．

　２００１年にリボールはこの結果を精密化し，ζ(5)からζ(21)までの奇数ｓのうち少なくとも１つのｓについて無理数であることを証明した．

　同年，ロシアの数学者，ズディリンはこの範囲をζ(5)からζ(11)までに狭めることに成功した．

［１］ｓを１より大きい奇数とすると，ζ（ｓ＋２），ζ（ｓ＋４），・・・，ζ（８ｓ−３），ζ（８ｓ−１）の各集合は，少なくとも１個の無理数を含む．

［２］ｓ＝３のとき，ζ（５），ζ（７），ζ（９），ζ（１１）の少なくともひとつは無理数である．

　いまはさらに前に進んで切ることを期待したいが，・・・

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