高次元準正多面体のｆ2，ｆ3・・・公式は計量的な構造が必要になるが，ｆ0，ｆ1公式ならば組み合わせ論的に求めることができると思われる．目標は，高次元準正多面体のｆ0，ｆ1公式を組み合わせ論的に求めることである．

　形状ベクトルによって，ｆ0公式を考えてみる．０がｋ個並ぶと（ｋ＋１）個の変数が同値になるので，組み合わせ論的に考えると，頂点数は

　　正単体系：　ｆ0＝（ｎ＋１）！／（ｋ＋１）！

　　正軸体系：　ｆ0＝２^n・ｎ！／（ｋ＋１）！

個になるはずである．

　これは（例外はあるにせよ）ほぼ正しいことが確認された．例外は（その１７７）（その１８１）で訂正した．しかし，ここではもっと直接的に求めることを考えてみたい．

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【１】ｆ0公式

　ｋ次元胞数をｆkとおく．

　　ｎ次元正軸体：ｆk＝（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

　　ｎ次元正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

［１］点ＱがＰkにあるとき

　　ｆ0＝Ｇkｆk，　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｋ＋１）＝１

［２］点ＱがＰjＰkにあるとき

　ＰjＰk（ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかに一致する．

　当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｆk

　　ｊ＝ｋ−１ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｊ＝ｋ−２ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ−２）＝（ｋ＋１，２）＝ｋ（ｋ＋１）／２

となる，

［３］点ＱがＰiＰjＰkにあるとき

　ＰiＰjＰk（ｉ＜ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかとｊ次元胞の中心Ｐjからｉ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｊ次元胞は何個のｉ次元胞で構成されているかに依存する．

　すると，当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｆk

　　ｊ＝ｋ−１ならば（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｉ＝ｊ−１ならば（ｊ＋１，ｊ）＝（ｊ＋１，１）＝ｊ＋１

となり，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）＝（ｋ＋１）（ｊ＋１）＝ｋ（ｋ＋１）

となる．

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