ｋ次元胞数をｆkとおく．

　　ｎ次元正軸体：ｆk＝（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

　　ｎ次元正単体：ｇk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　面Ｐk-2Ｐk-1Ｐkの場合は，組み合わせ論的に

　　ｋ（ｋ＋１）・ｇk

になると考えられる．

　ＰiＰjＰkのまわりに集まる基本単体数は，正軸体では

　　２^nｎ！／ｋ（ｋ＋１）（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝２^(n-k-1)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！

　　ｋ＝２のとき，２^(n-3)１！（ｎ−３）！

　　ｋ＝３のとき，２^(n-4)２！（ｎ−４）！

　正単体では

　　（ｎ＋１）！／ｋ（ｋ＋１）（ｎ＋１，ｋ＋１）＝（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！

　　ｋ＝２のとき，１！（ｎ−２）！

　　ｋ＝３のとき，２！（ｎ−３）！

になるはずである．実際に計算してみることにした．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正軸体の場合

　　２^nｎ！／ｋ（ｋ＋１）（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝２^(n-k-1)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！

　　ｋ＝２のとき，２^(n-3)１！（ｎ−３）！

　　ｋ＝３のとき，２^(n-4)２！（ｎ−４）！

　　ｋ＝４のとき，２^(n-5)３！（ｎ−５）！

　　ｋ＝５のとき，２^(n-6)４！（ｎ−６）！

　　　　　ｎ＝３　　　ｎ＝４　　　ｎ＝５　　　ｎ＝６

ｋ＝２　　　１　　　　　　２　　　　　８　　　　４８

ｋ＝３　　　−　　　　　　２　　　　　４　　　　１６

ｋ＝４　　　−　　　　　　−　　　　　６　　　　１２

ｋ＝５　　　−　　　　　　−　　　　　−　　　　２４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正単体の場合

　　（ｎ＋１）！／ｋ（ｋ＋１）（ｎ＋１，ｋ＋１）＝（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！

　　ｋ＝２のとき，１！（ｎ−２）！

　　ｋ＝３のとき，２！（ｎ−３）！

　　ｋ＝４のとき，３！（ｎ−４）！

　　ｋ＝５のとき，４！（ｎ−５）！

　　　　　ｎ＝３　　　ｎ＝４　　　ｎ＝５　　　ｎ＝６

ｋ＝２　　　１　　　　　　２　　　　　６　　　　２４

ｋ＝３　　　−　　　　　　２　　　　　４　　　　１２

ｋ＝４　　　−　　　　　　−　　　　　６　　　　１２

ｋ＝５　　　−　　　　　　−　　　　　−　　　　２４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】まとめ

この表に斜線を引いて，斜線上に共通して

　　１→２→６→・・・

と並ぶ．これ以降も同じ数列になるのだろうか？

　ｋ＝ｎ−２を代入すると，

　　２^(n-k-1)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！＝２（ｎ−３）！

　　（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！＝２（ｎ−３）！

となり，同じ数が順番に現れることがわかる．

　ｋ＝ｎ−１を代入すると，

　　２^(n-k-1)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！＝（ｎ−２）！

　　（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！＝（ｎ−２）！

となり，同じ数が順番に現れることがわかる．

　ｎ次元の正軸体も正単体もファセットは等しく，（ｎ−１）次元正単体であることの別表現になっているのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝