■n次元の立方体と直角三角錐(その192)

 k次元胞数をfkとおく.

  n次元正軸体:fk=(n,k+1)2^(k+1)

  n次元正単体:gk=(n+1,k+1)

 (その189)では,正軸体・正単体ともに,P0P1,・・・の数は2f1,P1P2の数は3f2,P2P3は4f3,・・・,(k+1)gkと考えた.一般に,PjPk(j<k)の場合も同様と考えられる.

 面PiPjPk(i<j<k)の場合は,組み合わせ論的に

  k(k+1)/2・gk

になると考えられる.

 PiPjPkのまわりに集まる基本単体数は,正軸体では

  2^nn!/k(k+1)/2(n,k+1)2^(k+1)=2^(n-k)(k−1)!(n−k−1)!

  k=2のとき,2^(n-2)1!(n−3)!

  k=3のとき,2^(n-3)2!(n−4)!

 正単体では

  (n+1)!/k(k+1)/2(n+1,k+1)=2(k−1)!(n−k)!

  k=2のとき,2・1!(n−2)!

  k=3のとき,2・2!(n−3)!

になるはずである.実際に計算してみることにした.

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【1】正軸体の場合

  2^nn!/k(k+1)/2(n,k+1)2^(k+1)=2^(n-k)(k−1)!(n−k−1)!

  k=2のとき,2^(n-2)1!(n−3)!

  k=3のとき,2^(n-3)2!(n−4)!

  k=4のとき,2^(n-4)3!(n−5)!

  k=5のとき,2^(n-5)4!(n−6)!

     n=3   n=4   n=5   n=6

k=2   2      4    16    76

k=3   −      4     8    32

k=4   −      −    12    24

k=5   −      −     −    48

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【2】正単体の場合

  (n+1)!/k(k+1)/2(n+1,k+1)=2(k−1)!(n−k)!

  k=2のとき,2・1!(n−2)!

  k=3のとき,2・2!(n−3)!

  k=4のとき,2・3!(n−4)!

  k=5のとき,2・4!(n−5)!

     n=3   n=4   n=5   n=6

k=2   2      4    12    48

k=3   −      4     8    24

k=4   −      −    12    24

k=5   −      −     −    48

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【3】まとめ

この表に斜線を引いて,斜線上に共通して

  2→4→12→・・・

と並ぶ.これ以降も同じ数列になるのだろうか?

 k=n−2を代入すると,

  2^(n-k)(k−1)!(n−k−1)!=4(n−3)!

  2(k−1)!(n−k)!=4(n−3)!

となり,同じ数が順番に現れることがわかる.

 k=n−1を代入すると,

  2^(n-k)(k−1)!(n−k−1)!=2(n−2)!

  2(k−1)!(n−k)!=2(n−2)!

となり,同じ数が順番に現れることがわかる.

 n次元の正軸体も正単体もファセットは等しく,(n−1)次元正単体であることの別表現になっているのである.

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