６本の帯を巻き付けた正１２面体などは，日本の伝統的な手鞠を思わせるが，日本の蹴鞠に似たスポーツにタイなど東南アジアを中心に行われているセパタクローがある．ルールは蹴鞠とバレーボールの中間のアクロバット的なスポーツで，ご存じの方も多かろう．

　セパタクローのボールも６本の籐性の帯を編み込んでいて，足で蹴ったくらいでは壊れない，とても丈夫なものである．セパタクローのボールはサッカーボールと同じ３２面体であるが，歴史的にどっちが原型であるかはわからないが，おそらく，セパタクローが先と思われる．その理由は，古いサッカーボールはバレーボール型（位相幾何学的１２面体を丸くしたような形）であって，私もこのボールで遊んだ経験があるからだ．

　３２面体のいまのデザインに変わったのは．１９７０年のメキシコ・ワールドカップからだそうである．この３２面体は切頂二十面体（最も球に最も近い準正多面体）で，正５角形が１２枚，正６角形が２０枚の合計３２枚でできているが，実物を見ながらでもそれぞれの個数はなかなか求められないものである．

　そこで，正５角形がｘ枚，正６角形がｙ枚の合計３２枚でできているとする．

　　ｘ＋ｙ＝３２

正５角形の頂点数は５ｘ，正六角形の頂点数は６ｙ個ある．ここでひとつの頂点に注目すると，その回りには正５角形１個と正六角形２個が取り巻いていることから，

　　５ｘ：６ｙ＝１：２　→　１０ｘ＝６ｙ

これを解いて，ｘ＝１２，ｙ＝２０

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　もっと一般的な問題を解いてみよう．

（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．

（Ａ）ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　このことからもｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出される．これもオイラーが知っていた結果であるということである．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる（フラーレン）．

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体など）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（大菱形立方八面体など）

(5)多面体の面がすべてｆ3とｆ6であるならば，ｆ3＝４（切頂四面体など）

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