どんな形の三角形でも一方を逆さにしてくっつけると平行四辺形になる．　どんな形の四角形でも一方を逆さにしてくっつけると平行六辺形になる．こうして作られた平行四辺形や平行六辺形の連なりは隙間なく，平面を周期的に埋め尽くすことができる．

　周期充填できるタイルの多くは非周期的充填にアレンジすることができる．それでは

［Ｑ］非周期的充填しかできないタイルは存在するか？

［Ａ］凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼り．

　１９７０年代に考案されたペンローズの凧と矢は非周期的充填だけを実現するのである．凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．さらに１９８０年代に，それまで存在しないと思われていたタイプの３次元結晶構造が見つかったが，それはペンローズが２次元で作ったのとまったく同じ非周期的充填をしていたのである．

　ところで，杉本晃久さん（五角形による平面充填の研究者）に１種類のタイルで非周期的タイル張り可能な場合を教えてもらった．付き合わせ条件をもった１つの六角形でaperiodicタイリングを作れる（ただし六角形は鏡映像を使う）のであるが，意外と知られていない（話題になっていない）ので，ここで紹介したい．

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［Ｑ］１個の要素からなる非周期的集合（付き合わせ条件があっても，なくてもよい）があるか？

［Ａ］実は１種類の場合が見つかっています．Joshua E. S. SocolarとJoan M. Taylorが示した非周期六角形タイルは，この問題（Einstein problem）の肯定的な解決になっています．つまり「２個の要素からなる非周期的集合」がペンローズ・タイルであり，「１個の要素からなる非周期的集合」がこの問題の解というわけです．

［参］J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory

18 (2011), 2207-2231.

［参］J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, Forcing nonperiodicity with a single tile, to appear in Mathematical Intelligencer 33 (2011).

　なお，この非周期的タイリングは付き合わせ条件が必要な場合であって，付き合わせ条件がない凸多角形の問題ではありません．

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