【１】２色問題

　紙の上に鉛筆で閉曲線を描く．その際，自分自身と交差すること，また，交点では２個以上の弧が交わってもよいことにする．次に，閉曲線から得られた地図に色を塗るのだが，ある国を黒く塗りつぶし，国境線で隣り合う国はそのままにしておく．

　その結果は市松模様となるが，これは偶然ではない．この事実を初めて知ったのは高校生のときであるが驚き，そして不思議に思ったものである．

　しかし，２色定理の証明はあっけないほど簡単である．どの隣接する２面も同じ色でないように，白と黒の市松模様に塗ることができるためには，１の頂点で偶数の面が交わらなければならない（＝頂点の次数はすべて４以上の偶数）ことに気づきさえすればよい．

　境界を接する２面（辺を共有する２面）が同じ色にならないように塗り分けるのに，２色しか必要としないのは驚くべきことである．地図が２色で塗り分けられるための必要十分条件を見いだす問題（＝２色問題）は地図塗り分け問題の特別な場合にあたるのである．

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【２】４色問題

　平面上の任意の地図を塗り分けるには４色が必要かつ十分である（４色問題）も素人でも理解できる問題である．

　見た目には簡単には思えるが，実は容易に解ける問題ではなく，多くの間違った証明を生み出し，失敗と部分的解決が繰り返されてきた悪名高い問題であるが，１９７６年，ハーケンとアッペルは４色問題（１８５２年）が正しいことを，コンピュータ計算による網羅的な探求により示した．かくして４色問題は４色定理となったのである．

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【３】７色問題

　このように平面（球面）の塗り分け問題は比較的最近解決されたが，トーラス上の地図の塗り分けについては，７色必要な場合があり，また７色で常に十分であることがそれ以前から知られていたのである．

　地図の彩色数はオイラー標数とは別の，表面の不変量である．

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