立方体の表面に立方体を６等分した四角錐を６個貼り付けると菱形１２面体が得られる．あるいは，正八面体の表面に正四面体を４等分した三角錐を８個貼り付けると菱形１２面体が得られる．正八面体を各辺の１／３の点で切頂する．あるいは，立方体を各辺の３／４の点で切頂すると，切頂八面体が得られる．

　正八面体の辺を黄金比で分割した点を結ぶと正二十面体が得られる．このとき，正二十面体と正八面体は面を共有している．正２０面体の中には立方体が頂点を共有した形で埋め込まれているが，立方体の辺は正五角形の対角線になるからその比は黄金比である．

　これらは互いに双対関係にあるので，驚くには値しないかもしれないが，・・・

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【１】ねじれ準正多面体の生成（その１）

　準正多面体の中で，最も例外的なものは２つのねじれ図形（ねじれ立方体とねじれ十二面体）である．ねじれ立方体は立方体を枠組みとして，正方形面が立方体の面上にあるようにして生成することができる．ねじれ十二体は正十二面体を枠組みとして，正五角形が正十二面体の面上にあるようにして生成することができる．

［補］この方程式は整数係数の３次方程式に帰着される．ゆえに，ねじれ準正多面体は定規とコンパスで作図可能ではない．

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【２】ねじれ準正多面体の生成（その２）

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

［１］正二十面体（３，３，３，３，３）は，正四面体の縮小三角形（λ＝１．６１８，黄金比）から生成される（ねじれ角：２２．２３８°）．

［２］ねじれ立方体（３，３，３，３，４）は，正八四面体の縮小三角形（λ＝１．８３９）から生成される（ねじれ角：２０．３１５°）．

［３］ねじれ十二面体（３，３，３，３，５）は，正二十面体の縮小三角形（λ＝１．９４３）から生成される（ねじれ角：１９．５１７°）．

　それそれ（３，３，３，３，ｑ）とすると，λは

　　λ^3−　λ^2−λ−１−２ｃｏｓ（２π／ｑ）＝０

の根として計算できる．

［１］ｑ＝３　→　λ^2−λ−１＝０

［２］ｑ＝４　→　λ^3−λ^2−λ−１＝０

［３］ｑ＝５　→　λ^3−λ^2−λ−φ＝０

　ねじれ角は

　　ｔａｎθ＝√３／（１＋２λ）

で与えられる．

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【３】おまけ

［Ｑ］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

［Ａ］縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

である．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．

　同じ向きに相似になるのは正三角形のときに限る．裏返しに相似になるのはパラメータａ，ｂ，ｃ，λの間に特別な関係がある場合である．たとえば，λ＝２のときは正三角形の半分（３辺の比が１：√３：２）のときがその一例である．

［補］ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作るＰ，Ｑ，Ｒの内分比を１：κとすると

　　κ＝λ^2／（１＋λ）

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