ゴム膜でできた長方形の４辺（または２辺）を適当に貼り合わせることを考えてみましょう．そして，長方形を時計回りに順に一周するようなラベルをつけることにします．

　すると，１組の対辺だけを向きを保ったまま張り合わせる操作はａ０ａ^(-1)０と書くことができます．ａ０ａ^(-1)０によって円環ができあがります．ａ０ａ０すなわち１組の対辺を向きを逆にして張り合わせる操作によって，メビウスの帯ができあがります．円環の境界は２本の円周ですが，メビウスの帯の境界は１本の円周です．

　同様に，ａｂｂ^(-1)ａ^(-1)からは球面，ａｂａ^(-1)ｂ^(-1)からは輪環面（トーラス），ａｂａｂ^(-1)からはクラインの壷，ａｂａｂからは射影平面が得られます．

　クラインの壷と射影平面は３次元ユークリッド空間の中では描けません．また，イメージするのは難しいのですが，射影平面はメビウスの帯と円板とを縁に沿って貼り合わせたものと同相です．

　円環，球面，輪環面は表から裏に行くことはありませんが，メビウスの帯，クラインの壷，射影平面では縁を越えることなしに曲面の裏側にたどりつきます．こういう面を向きづけ不可能な曲面といいます．

　これら６種類はすべて２次元多様体の例です．そして，コンパクトな２次元多様体はどんなものでも，円環，メビウスの帯，球面，輪環面，クラインの壷，射影平面の６つのものを適当に連結和したものと同相になることが知られています．これが２次元多様体の分類定理ですが，３次元以上の多様体に関してはこのような分類定理は存在しません．

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　２次元多様体面上の多角形分割で，面数Ｆ，頂点数Ｖ，辺数Ｅとするとき，オイラー標数

　　χ＝Ｆ＋Ｖ−Ｅ

は

　　χ＝１（射影平面）と

　　χ＝０で向きづけられる曲面（輪環面）

　　χ＝２（球面）

　　χ＝０で向きづけられない曲面（クラインの瓶）

となります．

　トーラス面上のＫ3,3とＫ5は実現可能ですが，同様にメビウスの帯の表面上にも描くことができます．

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