【１】トーラス面上のＫ7

［１］もし，Ｋ6が平面的であるならば，ｖ＝６，ｅ＝１５．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝９

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　２７＝３ｆ≦２ｅ＝３０

となって矛盾は生じない．

［２］もし，Ｋ7が平面的であるならば，ｖ＝７，ｅ＝２１．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝１４

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　４２＝３ｆ≦２ｅ＝４２　　（正則）

となって矛盾は生じない．

［３］もし，Ｋ8が平面的であるならば，ｖ＝８，ｅ＝２８．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝２０

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　６０＝３ｆ≦２ｅ＝５６

となって矛盾．

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【２】球面上のＫ4

　もし，Ｋ4が平面的であるならば，ｖ＝４，ｅ＝６．

　　ｆ＝２＋ｅ−ｖ＝４

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　１２＝３ｆ≦２ｅ＝１２　　（正則）

となって矛盾は生じない．

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【３】種数ｇ表面上の正則平面グラフ

　Ｋvが平面的であるならば，ｑ＝ｖ−１，ｅ＝ｖ（ｖ−１）／２．

　　ｆ＝２−２ｇ＋ｅ−ｖ＝２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝３ｆ≦２ｅ＝ｖ（ｖ−１）

　正則正則平面グラフであるためには

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝ｖ（ｖ−１）

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　この方程式には解が無数にあるが，

　　ｇ＝０　→　Ｋ4

　　ｇ＝１　→　Ｋ7

　　ｇ＝６　→　Ｋ12

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