パスカルの三角形にはいろんなことがいっぱい詰まっている．たとえば，パスカルの三角形になだらかな斜線を引いて，斜線上に並ぶ数の和をとればフィボナッチ数が順番に現れる．

　　１＋１＝２，１＋２＝３，１＋３＋１＝５，１＋４＋３＝８，１＋５＋６＋１＝１３，・・・

　パスカルの三角形とフィボナッチ数の関係は古くから知られていたが，

　　ｆn＝Σ（ｎ−ｋ，ｋ）

はその二項係数表現になっている．ところで，・・・

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【１】正軸体の場合

　　２^nｎ！／（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝２^(n-k-1)（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！

　　ｋ＝０のとき，２^(n-1)（ｎ−１）！

　　ｋ＝１のとき，２^(n-2)２！（ｎ−２）！

　　ｋ＝２のとき，２^(n-3)３！（ｎ−３）！

　　ｋ＝３のとき，２^(n-4)４！（ｎ−４）！

　　　　　ｎ＝３　　　ｎ＝４　　　ｎ＝５　　　ｎ＝６

ｋ＝０　　　８　　　　　４８　　　３８４　　１９２０

ｋ＝１　　　４ １６　　　　９６　　　７６８

ｋ＝２　　　６　　　　　１２　　　　４８　　　２８８

ｋ＝３　　　−　　　　　２４　　　　４８　　　１９２

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【２】正単体の場合

　　（ｎ＋１）！／（ｎ＋１，ｋ＋１）＝（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！

　　ｋ＝０のとき，ｎ！

　　ｋ＝１のとき，２！（ｎ−１）！

　　ｋ＝２のとき，３！（ｎ−２）！

　　ｋ＝３のとき，４！（ｎ−３）！

　　　　　ｎ＝３　　　ｎ＝４　　　ｎ＝５　　　ｎ＝６

ｋ＝０　　　６　　　　　２４　　　１２０　　　７２０

ｋ＝１　　　４ １２　　　　４８　　　２４０

ｋ＝２　　　６　　　　　１２　　　　３６　　　１４４

ｋ＝３　　　−　　　　　２４　　　　４８　　　１４４

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この表に斜線を引いて，斜線上に共通して

　　４→１２→４８→・・・

と並ぶ．これ以降も同じ数列になるのだろうか？

　ｋ＝ｎ−２を代入すると，

　　２^(n-k-1)（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！＝２（ｎ−１）！

　　（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！＝２（ｎ−１）！

となり，同じ数が順番に現れることがわかる．このあたりに解決のカギが隠されていないだろうか？

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