平面図形の中で３本またはそれ以上の直線が１点で交わっていることを主張する定理が共点定理です．三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，たとえば，三角形の各頂点から対辺に引いた３つの中線や垂線は１点に会するなど，三角形の５心の存在は共点定理の例となっています．
一方，３点あるいはそれ以上の点が一直線上にあることを主張する定理は共線定理と呼ばれます．たとえば，三角形の外心と重心と垂心はその順番に一直線上に並んでいて，外心と垂心を結ぶ線分が重心によって１：２に内分されています．この共線はオイラー線と呼ばれています．
三角形を定めたとき，各種共点が９１点あり，それらが１０３本の直線（共線）に載っているという・・・実はもっと多いらしいのですが，今回のコラムでは幾何学の基本形である三角形の性質について，もう一度見直してみることにします．近年，初等幾何学（古典幾何学）の果たす役割は小さくなってきているといわれていますが，幾何学についてもう一度見直してみることは意味のあることでしょう．
［参］一松信「現代に活かす初等幾何学入門」岩波書店
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【１】三角形の５心
三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，内心は内角の２等分線，傍心は１内角と２外角の２等分線，重心は中線，外心は辺の垂直２等分線，垂心は頂点から対辺への垂線が１点に会した共点です．
このうち，三角形の内心は３辺への距離のうちで一番小さいものが最大となる点（マックスミニ点），外心は３頂点に至る最大距離が最小となる点（ミニマックス点）です．同様に，垂心は三角形に内接する三角形の周長が最小になる点，重心は３頂点に至る距離の２乗の和が最小となる点です．
外心と重心の中点はフォイエルバッハの９点円の中心であり，フォイエルバッハの９点円は各辺の中点，各頂点から対辺へ下ろした垂線の足，頂点と垂心の中点の９個の点を通る円となっています（１８２１年：ポンスレとブリアンション）．
このことから，オイラー線（１７６７年）は外心・重心・垂心・フォイエルバッハの９点円の中心を相互に結ぶ直線ということになりますし，フォイエルバッハの９点円の中心はオイラー線の中点で，その半径は外接円の半径の半分となります．
さらに，フォイエルバッハの９点円が三角形の内接円と傍接円の各々に接する，９点円には他にも多くの特別な点が含まれているなど，三角形のような簡単な図形が無数に未知の性質を有することはまことに不思議なことです．
また，ユークリッドは３つの角を２等分することで内心を見つけたのですが，モーリーは３つの角を３等分するとどうなるかを問題にして，モーリーの定理「任意の三角形において，各内角の３等分線の隣同士の交点を結んで得られる三角形は正三角形である」を発見しました（１８９９年）．この驚くべき基本的な定理が２０００年という長い間，２０世紀直前にいたるまで発見されなかった理由は角の３等分問題は解けないことが判明していたところにあるのでしょう．
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【２】三角形についての公式
任意の三角形に対して
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
が成り立ちます．
この式は
γ＝π−（α＋β）
として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明されます．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられるのです．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではありませんが，三角形の普遍的な調和を内包しているように思えるというのがその理由です．
同様に，任意の三角形に対して
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２
ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２
ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２
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等式の世界も面白いのですが，不等式の世界だって奥深いものがあります．鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
前項より，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
したがって，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３
ですから，
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３ （等号は正三角形のとき）
を容易に証明することができます．
少し気分を変えて，次の不等式はどうでしょうか？
（問題）
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８
（証明）
２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）
＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）
≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）
これより極大値を計算すると，３√３／８が得られます．
なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，
ａｂｃ＝４Ｒ△，
（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△
また，正弦定理
ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ
より，
ａｂｃ≦３√３Ｒ^3
と同値です．
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【３】ヘロンの公式
任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとすると，外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒは
ａｂｃ＝４Ｒ△，
（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△
で表されますが，ここで２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと，Δ＝ｒｓ
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．
ヘロンの公式は，また，
１６Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4） ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）
とも表されます．
（問題）Ｒ≧２ｒ 等号は正三角形のときに限る．
（証明）
外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，
Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2
が成り立っています（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．
外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表すと，
ａｂｃ＝４ＲΔ （正弦定理）
（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２Δ （寄木細工定理）
ここで，
ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，
ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，
ｓ3＝ａｂｃ
とおくとき，Ｒ≧２ｒは
ｓ1ｓ3≧１６Δ^2
ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3≧０
と同値．
実際にやってみると
ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3＝１／２［（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）＋（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）］≧０
ｂ＋ｃ−ａ＞０，ｃ＋ａ−ｂ＞０，ａ＋ｂ−ｃ＞０ですから，等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限ることがわかります．
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一方，四角形については，プトレマイオス（トレミー）の定理「円に内接する四角形の対角線の積は，対辺の積の和に等しい」があります．
ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ
この定理において，もし四角形が長方形ならば
ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2
となり，ピタゴラスの定理に帰着します．また，４点が同一円周上にないとき，不等式
ＡＣ・ＢＤ＜ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ
が成り立ちます．
なお，円に内接する四角形では
Δ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）
内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，
２Ｒ^2（ｒ^2＋ｄ^2）＝（ｒ^2−ｄ^2）^2 （フースの定理）
が成り立ちます．フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけています．
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【４】空間のヘロンの公式
ところで，線分と三角形および四面体（三角錐）は，それぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形ですが，次元数ｎより１つ多い（ｎ＋１）個の頂点によって作られる図形をシンプレックス（単体）と呼びます．線分は１次元単体，三角形は２次元単体，三角錐は３次元単体とも呼ばれます．
この節で取り上げるのは，四面体についての問題「６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで，与えられた４面体の体積を求めよ」です．
２つのベクトルａ↑，ｂ↑を基底とする平行体（平行四辺形）の面積は，外積は
ａ↑×ｂ↑
３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑を基底とする平行体（平行六面体）の体積は，スカラー三重積
（ａ↑×ｂ↑）・ｃ↑
すなわち，外積ａ↑×ｂ↑とベクトルｃ↑の内積で与えられます．
｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂとすれば，平行四辺形の面積は，
Ｓ＝ａｂｓｉｎθ
ですから，
Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）
＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑｜
同様に，平行六面体の体積は
Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑ ａ↑・ｃ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑ ｂ↑・ｃ↑｜
｜ｃ↑・ａ↑ ｃ↑・ｂ↑ ｃ↑・ｃ↑｜
で与えられます．
これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．
また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．
｜Ｓ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜１ ｘ2 ｙ2｜ ｜１ ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜１ ｘ3 ｙ3｜ ｜１ ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
｜１ ｘ4 ｙ4 ｚ4｜
原点が含まれるときは，
｜Ｓ｜＝｜ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜ｘ2 ｙ2｜ ｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
のように展開されます．
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これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形面積，四面体の体積は，
Ｓ’＝Ｓ／２
Ｖ’＝Ｖ／６
また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，
２^2（２！）^2Ｓ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｃ^2 １｜
｜ｂ^2 ｃ^2 ０ １｜
｜１ １ １ ０｜
２^3（３！）^2Ｖ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｄ^2 ｅ^2 １｜
｜ｂ^2 ｄ^2 ０ ｆ^2 １｜
｜ｃ^2 ｅ^2 ｆ^2 ０ １｜
｜１ １ １ １ ０｜
となります．
前者はおなじみの平面三角形のヘロンの公式にほかなりませんが，面積をＳ’＝Δとして，
（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）
ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，ヘロンの公式が得られます．
後者が空間のヘロンの公式であり，Ｖ’＝Δとして
（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2
一見複雑ですが，相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和が
ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
であり，４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和が
ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2
です．
この公式はオイラーの公式とも呼ばれるものですが，複雑であり平面三角形のヘロンの公式のように因数分解できません．ただし，４面の面積が等しい等積四面体＝４面が合同な鋭角三角形よりなる四面体（バンの定理）の場合，
７２Δ^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）
と因数分解した形で表されます．
なお，三次元空間では三角形は四面体に，正方形は立方体に，正五角形は正十二面体に，円は球に拡張されると考えられます．その際，外心，内心，重心，傍心は任意の四面体に存在するのですが，垂心は必ずしも存在しません．また，三次元空間において四面体の外接球，内接球の半径をそれぞれＲ，ｒとすれば，Ｒ≧３ｒが成り立ちます．
ｎ次元ではＲ≧ｎｒとなるのですが，高次元の幾何学の例をもう一つあげると，三角形の面積は底辺かける高さ割る２ですが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．高次元の多面体ではこのようになることが知られています．
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【５】フェルマー点
ユークリッドは三角形の中心と呼べる点を４つ（内心，重心，外心，垂心）知っていたらしいのですが，これ以外にも中心はいろいろあります．
微分積分の入門書に「平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある．この平面上に点Ｐをとって，ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2が最小になるようにせよ」という問題が偏導関数の応用例として載せられています．その点Ｐは重心です．３定点が４定点であっても，同じ議論になるのですが，距離の２乗の和に特に具体的な意味があるようには思えません．むしろ，２乗を取り去ったほうが問題としては自然です．
そこで，「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．
この問題は１７世紀のフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリに出題したものとして有名な問題で，求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．
このフェルマー点は頂点と外正三角形の頂点を結ぶ直線の共点として得られます．すなわち，フェルマー点を見つけるには与えられた三角形の各辺の上に正三角形を立てて各頂点と結ぶと，これら３本の線は１点Ｆで交わり∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立ちます．また，フェルマー点は３つの正三角形の外接円の交点でもあります．
このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．
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【６】ナポレオン点
数学が得意だったフランス皇帝ナポレオンが若い頃に発見したと伝えられている定理が，ナポレオンの定理「任意の三角形の各辺の外側に正三角形を作ったとき，それらの重心を結ぶと正三角形が得られる」です．
三角形の各辺の内側に正三角形を作ったときも，それらの重心を結ぶと正三角形が得られます．これらの２つの正三角形の重心は一致し，その面積の差は最初の三角形の面積に等しくなります．
ナポレオン点は，頂点と外正三角形の中心を結ぶ直線の共点として得られます．一方，第２ナポレオン点は頂点と内正三角形の中心を結ぶ直線の共点として得られます．フェルマー点・ナポレオン点・外心は同一直線上にあり，フェルマー点・第２ナポレオン点・フォイエルバッハの９点円の中心は同一直線上にあります．
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【７】その他の共点・共線
［１］ド・ロンシャン点
外心に対する垂心の対称点をド・ロンシャン点と呼びます．△ＡＢＣの各頂点を通って対辺に平行な直線を引き，その交点をＧ，Ｈ，Ｉとします．△ＧＨＩを大三角形と呼ぶことにすると，両者の重心とオイラー線は一致します．もとの三角形の垂心は大三角形の外心に，外心は９点円の中心に，ド・ロンシャン点は垂心になります．
このことが３本の垂線が１点で交わる証明にもなっています．ついでながら，△ＡＢＣの各辺の中点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，△ＡＢＣの内心は△ＤＥＦの外心となっていることを申し添えておきます．
［２］ジォルゴンヌ点とナーゲル点
△ＡＢＣの内接円が３辺に接する点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，チェバの定理により，それと向かい合う頂点とを結ぶ３本の直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で交わります．この点をジォルゴンヌ点といいます．
また，△ＡＢＣの傍接円が３辺に接する点をＸ，Ｙ，Ｚとすると，３直線ＡＸ，ＢＹ，ＣＺは１点で交わります．この点がナーゲル点です．
三角形ＡＢＣ内の点Ｐに対し，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの延長が対辺と交わる点をＸ，Ｙ，Ｚとします．このとき各辺の中点に関するＸ，Ｙ，Ｚの対称点をＸ’，Ｙ’，Ｚ’とすると，チェバの定理により３直線ＡＸ’，ＢＹ’，ＣＺ’は１点Ｑで交わります．このようにしてできる２点Ｐ，Ｑを互いに他の等長共役点と呼びます．ジォルゴンヌ点とナーゲル点は典型的な等長共役点の例ですし，重心は自己等長共役点です．
［３］ナーゲル線
内心，重心，ナーゲル点はこの順に１直線上にあり，相互の間隔が１：２です．これはオイラー線「外心，重心，垂心がこの順に１直線上に載っていて，間隔が１：２である」ことのアナローグです．
［４］ソディー線
ジォルゴンヌ点，内心，ド・ロンシャン点は一直線上にあり，オイラー線とはド・ロンシャン点で交わります．
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【８】シムソン線とデルトイド
シムソン線というのは三角形の外接円上の任意の１点から３辺（またはその延長線）に下ろした垂線の足を結ぶ直線のことで，垂線の足は一直線上に並ぶところが面白いところです．
初めてデルトイド（三星形）の研究を行ったのはオイラー（１７４５年）ですが，１９世紀の数学者シュタイナーがシムソン線の包絡線として研究したところから，デルトイドはシュタイナーのハイポサイクロイドとも呼ばれています．
デルトイドがもつ性質のひとつは外接円さえ同じであれば，三角形の形に関係なく，同じ形のデルトイドが得られるということです．もう一つの性質はデルトイドで両端を仕切ったシムソン線の長さは一定で，その値は転円の半径をｒ（すなわち定円の半径を３ｒ）とすると，４ｒになります．
三角形の９点円Ｑと同心で，半径がその３倍の定円Ｑ’を導線として，Ｑを通るシムソン線（３本ある）がＱ’と交わる点Ｓにおいて，最初Ｑ’に接していた９点円と同大の円をＱ’の内側をころがすとき，最初Ｓにあった点の描く軌跡がこのデルトイドです．この結果はシュタイナーが初等幾何学的に示しました．
なお，ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドの定円の半径をＲとした場合，ハイポサイクロイドの面積は
Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／ｎ^2・πＲ^2
で表されます．
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【９】まとめ
本稿で取り上げた三角形の面積についてのヘロンの公式はピタゴラスの定理と並ぶもう一つの古代ギリシャ（古典幾何学）の宝物といってよいと思われます．一方，オイラー線（１７６７年）はユークリッド，アルキメデス，ヘロンを始めとするたくさんの幾何学者が見落としていた三角形の基本的な性質ですし，１８２１年まで誰一人として９点を通る円の存在に気づかなかったのです．
モーリーの定理（１８９９年）のような基本的事実が長い間見過ごされてきたのも，角の三等分の評判があまりにも悪名高く，まともに取り上げようとする数学者が皆無だったせいなのでしょう．（しかし，角の三等分は作図できないにしても，三等分線そのものは確かに存在し別の方法を使えば作図できるのです．）
この意味で，もしギリシャ時代を幾何学の黄金期と呼ぶのであれば，オイラー以後の時代は白銀期と呼ぶのにふさわしいものです．そして，約２０００年に及ぶユークリッド幾何学（放物線幾何学）の時代を経て，１９世紀前半の非ユークリッド幾何学やそれとほぼ同時に開花した射影幾何学などいろいろな考えに基づく種々の幾何学が誕生しました．
最後に，三角形や円といった単純な図形の共線定理ではなく，四角形と円錐曲線の共線定理の例として，パスカルの定理とニュートンの定理を紹介します．パスカルもニュートンも，少年時代はみんなパズルずきの幾何少年だったに違いありません．
［１］ニュートンの定理
四辺形ＡＢＣＤの２組の対辺の延長の交点をＥ，Ｆ，対角線ＢＤの中点をＬ，対角線ＡＣの中点をＭ，線分ＥＦの中点をＮとすれば，３点Ｌ，Ｍ，Ｎは一直線上にある（ニュートン線）．
［２］パスカルの定理
円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．
パスカルはこの有名な定理をわずか１７才の時に発見したのですが，これは射影幾何学の基本定理の一つになっています．射影幾何学とは，長さや角の大きさに無関係に，例えば，いくつかの点がある直線上にあるといった関係，射影によって不変な図形の性質，を研究する学問です．パスカルの定理の重要な系が「円錐曲線は任意の５点で一意に定まる」です．
射影平面上では，円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，どれも同種の曲線となります．また，射影平面上では点という語と直線という語を入れ替えても定理は成り立っています．これをポンスレーの双対原理と呼び，射影幾何学の最も美しい特質です．パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対にある共点定理「円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる」が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．
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