折り紙を使えば倍積問題（デロスの問題）が解けますし，角の３等分も可能です．円積問題（古代ギリシアの３大作図不可能問題のひとつ）は折り紙でも解くことはできませんが，折り紙は３次方程式・４次方程式を解く力をもっているというわけです．４次を超える能力はありませんが・・・．

　アルハーゼンの問題の答えも実４次方程式の解として表すことができます．

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【１】ヘロンの問題

（Ｑ）直線Ｌの同じ側にある２点Ｆ1，Ｆ2からの距離の和Ｆ1Ｐ＋ＰＦ2が最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．

という問題を考えてみます．

　この問題は「ヘロンの問題」と呼ばれていて「町Ｆ1から町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」という実用価値のある寄り道問題ですし，反射光学の問題あるいはビリヤード問題とも考えることができます．

（Ａ）答は簡単に求めることができる．点Ｆ2を直線Ｌに関して対称移動させＦ0とする．直線Ｆ1Ｆ0と直線Ｌの交点が最短距離となる折り返し点Ｐである．

　この最適な点Ｐには線分Ｆ1ＰとＦ2ＰがそれぞれＬとなす角が等しいという性質があります．また，このことは三角形のフェルマー点Ｆが３つの頂点への距離の和を最小にすること，∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立つこととよく類似しています．

　ヘロンの問題のバリエーションとして「町Ｆ1から川の反対側にある町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄り，一定幅ｄの川を渡るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」などもよく見かける問題です．どこに橋を架けたらいいかという問題ですが，川幅は一定ですから点Ｆ1を川幅の分だけ平行移動した点をＦ0として，Ｆ0とＦ2を結ぶ直線が川のＦ2側の岸と交わる点に橋を架ければ最短経路であることがわかります．

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【２】アルハーゼンの問題

　ヘロンの問題に対して，「アルハーゼンの問題」とは寄り道するのが川ではなく池となったものです．すなわち

（Ｑ）町Ｆ1から川の同じ側にある町Ｆ2に行くとき，円形の池岸の点Ｐに立ち寄るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ

というものです．

（Ａ）点Ｐが求められたとして点Ｐで円の接線を引き，点Ｆ2を接線に対して反対側に対称移動した点をＦ0とする．このとき，Ｆ1Ｐ＋ＰＦ0が直線になればよいので，∠Ｆ1ＰＦ2が点Ｐを通る円の直径で２等分されるとき最短距離になる．したがって，Ｆ1，Ｆ2を焦点とし円の接する楕円と求めればよい．

　点Ｐが存在することは確かですが，では点Ｐはどうやって求めたらいいのでしょうか．純幾何学的に解くのは難しそうですから，点Ｐを解析幾何学的に求めようとすると４次方程式の解に帰着されるため，解はもし存在すれば４個あるいは２個，または解なしとなります．

　いずれにせよアルハーゼンの問題とヘロンの問題との違いはアルハーゼンの問題が（特殊な場合を除いて）定規とコンパスだけでは作図不可能な問題ということであって，Ｆ1，Ｆ2を焦点とし円の接する楕円を作図するという問題は作図問題としては解答不能なのです．

　なお，アルハーゼンの問題の拡張として「町Ｆ1から川の反対側にある町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄り，一定幅ｄの「環状」の川を渡るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」が考えられます．同じ側→反対側，池岸→「環状」の川岸に変わっています．

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　また，円を他の円錐曲線に置き換えて一般化した問題ついては読者の演習問題としたいのですが，楕円ではＦ1Ｐ＋Ｆ2Ｐ＝一定であり片方の焦点から出た光線は楕円上で反射して第２の焦点に向かうとか，双曲線ではＦ1Ｐ−Ｆ2Ｐ＝一定で片方の焦点から出た光線が表面にあたって反射するとあたかも第２の焦点から出たように反射するとか，放物線の焦点を出た光は曲線上で反射して曲線の対称軸に平行に進むという幾何光学的特徴はすでにご存知であろうと思います．

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