折り紙の基本の折り目はいずれも半分に折るもの，すなわち，正方形の対角を合わせる形で斜めに折るか，隣り合う角を合わせる形で中心線に沿って折るかである．

　芳賀の定理とよばれるのものは５０ほどあるという．今回のコラムでは，もうひとつの芳賀の定理

［定理］正方形の折り紙に任意の折り目をつけて，これを母線とする．正方形のそれぞれの辺を母線に合わせて折り，折り目を作ってから広げる（６回）．折り線の交点はすべて正方形の対角線と中心線上に位置する．

について考えてみたい．

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【１】証明

　１辺の長さが８の正方形の頂点を

　　Ａ（−４，８）

　　Ｂ（−４，０）

　　Ｃ（４，０）

　　Ｄ（４，８）

にとる．

　辺ＡＤ上の点Ｐ（ａ，８），辺ＣＤ上の点Ｑ（４，ｂ）を結ぶ線

　　ｙ−８＝（ｂ−８）／（４−ａ）・（ｘ−ａ）

を母線とする．母線の傾きをベクトル表示すると

　　（４−ａ，ｂ−８）＝（α，β）

　ＡＰを母線に合わせて折る．折り目の方程式の傾きをｍとすると

　　ｙ−８＝ｍ（ｘ−ａ），ｍ＞０

で表される．折り目の傾きをベクトル表示すると

　　（−１，−ｍ）

　角∠ＡＰＱを二等分するから

　　１＝（−α−ｍβ）／（α^2＋β^2）^1/2

　これより，傾きｍが求まる．

　　ｍ1＝−｛（α^2＋β）^2）^1/2＋α｝／β

　ＢＣを母線に合わせて折ると，折り目の方程式は

　　ｙ−ｂ＝ｍ（ｘ−４），ｍ＞０

で表される．折り目の傾きをベクトル表示すると

　　（−１，−ｍ）

　角∠ＣＱＰを二等分するから

　　ｍ＝｛α＋ｍβ｝／（α^2＋β^2）^1/2

　これより，傾きｍが求まる．

　　ｍ＝α／（α^2＋β^2）^1/2−β）

　　ｍ2＝（（α^2＋β^2）^1/2−β）／α

　ｍ2＝１／ｍ1ではないのである．ここで，２直線

　　ｙ−８＝ｍ1（ｘ−ａ）

　　ｙ−ｂ＝ｍ2（ｘ−４）

の交点がｙ＝ｘ＋４上にあることを証明すればよい．

　　ｍ1（ｘ−ａ）＋８＝ｍ2（ｘ−４）＋ｂ

　　（ｍ1−ｍ2）ｘ＝ａｍ1−８−４ｍ2＋ｂ

　　（ｍ1−ｍ2）ｙ＝ｍ1（ｍ1−ｍ2）（ｘ−ａ）＋８（ｍ1−ｍ2）

　　（ｍ1−ｍ2）（ｙ−ｘ）＝ｍ1（ａｍ1−８−４ｍ2＋ｂ）−ａｍ1（ｍ1−ｍ2）＋８（ｍ1−ｍ2）−ａｍ1＋８＋４ｍ2−ｂ

＝−ｍ1ｍ2（４−ａ）＋（ｂ−ａ）ｍ1−４ｍ2＋８−ｂ＝４（ｍ1−ｍ2）

　　−ｍ1ｍ2（４−ａ）＋（ｂ−ａ−４）ｍ1＋８−ｂ＝０

　　−ｍ1ｍ2（４−ａ）＋（ｂ−８−ａ＋４）ｍ1＋８−ｂ＝０

　　−ｍ1ｍ2α＋（α＋β）ｍ1−β＝０

となることを示せばよいことになる．計算を続行すればこれを示すことができる．

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