今回のコラムでは，もうひとつの芳賀の定理

［定理］折り紙のひとつの角が辺の任意の点に来るように折って元に戻す．もうひとつの角を同じ点に合わせて折り元に戻す．このときできる交点は正方形の中心線上に来る．また，交点から任意の点までの距離と交点から対辺の２つの角までの３つの距離は常に等しくなる．

について考えてみます．

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【１】証明

　１辺の長さが８の正方形の頂点を

　　Ａ（−４，８）

　　Ｂ（−４，０）

　　Ｃ（４，０）

　　Ｄ（４，８）

にとる．

　点Ｃが辺ＡＤ上の点Ｐ（ａ，８）に来るように折ると，折り線の方程式はＣＰと直交するから，ｙ切片をｂとすると

　　ｙ＝（４−ａ）ｘ／８＋ｂ

この直線から点Ｃ，Ｐまでの距離が等しいことから

　　｜−（４−ａ）／２−ｂ｜＝｜８−（４−ａ）ａ／８−ｂ｜

　　ｂ＝３＋ａ^2／１６

　点Ｂが辺ＡＤ上の点Ｐ（ａ，８）に来るように折ると，折り線の方程式はＢＰと直交するから，ｙ切片をｂとすると

　　ｙ＝−（４＋ａ）ｘ／８＋ｂ

この直線から点Ｂ，Ｐまでの距離が等しいことから

　　｜−（４＋ａ）／２−ｂ｜＝｜８＋（４＋ａ）ａ／８−ｂ｜

　　ｂ＝３＋ａ^2／１６

　ｙ切片は等しくなるが，交点のｘ座標は

　　（４−ａ）ｘ／８＋３＋ａ^2／１６＝−（４＋ａ）ｘ／８＋３＋ａ^2／１６よりｘ＝０．すなわち，交点は正方形の中心線上

　　（０，３＋ａ^2／１６）

にある．

　また，このとき，交点から任意の点までの距離と交点から対辺の２つの角までの３つの距離は等しくなる．

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