４次元では，奇数の和

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｌ＋１）＝（ｌ＋１）^2

５次元では，平方数の和

　　１＋４＋９＋・・・＋（ｌ＋１）^2＝（ｌ＋１）（ｌ＋２）（２ｌ＋３）／６

　６次元では，立方数の和

　　１＋８＋２７＋・・・＋（ｌ＋１）^3＝（ｌ＋１）^2（ｌ＋２）^2／４になるのかという質問が届いたが，無論そうではない．このコラムを借りて答えたい．

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　ｌ＝０（ｓ軌道）はｎが何であっても１である．（ｌ，ｎ）は左隣の列を一番上から同じ高さまでたどって和をとればよいから．

　　　ｌ＼ｎ　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６

（ｓ）０　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

（ｐ）１　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６

（ｄ）２　　　０　　　２　　　５　　　９　　１４　　２０

（ｆ）３　　　０　　　２　　　７　　１６　　３０　　５０

（ｇ）４　　　０　　　２　　　９　　２５　　５５　１０５

　すなわち，ｋ＝ｌ＋１として

　　Σｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／６＝（２Σｋ^2＋３Σｋ＋Σ１）／６

　＝ｋ（ｋ＋１）^2（ｋ＋２）／１２

　＝（ｌ＋１）（ｌ＋２）^2（ｌ＋３）／１２

で与えられる．

　以上のことは，ｎ次元原子の電子軌道は物理的にはそれより低い次元の原子の電子軌道の性質を受け継いでいることを意味しているのである．

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