前回のコラムの最後で，ガウスの整数やアイゼンスタインの整数についての補足説明を加えた．ガウスの数体Ｑ（ｉ）の場合でいうと，ａ，ｂを整数として
ａ＋ｂｉ
で表される複素数が「ガウスの整数」である．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じている→「ガウスの整数環」．
また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，
±１，±ｉ
の４個の単数がある．ガウスの数体では（単数を除いて）素因数分解の一意性が成立する．
それに対して，Ｑ（√−５）では
６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）
のように，素数の積に２通りに表されるような状況を生じてしまうのである．（２，３は素数であるし，１＋√−５，１−√−５はいずれも
ａ＋ｂ√−５
のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」である．）
それでは，どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのであろうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】ベイカー・スタークの定理
この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）
−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３
に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．
ずいぶん以前からこの９個の数は知られていたのですが，１０番目の数が存在するかもしれない・・・というまどろっこしい状態が続いていました．水金地火木土天海冥のさらに遠方に１０番目の惑星が存在するかもしれないという問題はつい最近「超冥王星」が発見されて解決しましたが，この１０番目の数が実際に存在するかどうかを解明するために長い歳月が費やされました．
その経緯について触れておきたいのですが，１９３２年，ハイルブロンとリンフットが１０番目のｄがあるとすれば，それは１０^11よりも大きくなることを示しました．また，１９５２年，ヘーグナーが９個ですべてだという証明を発表しましたが，彼は高校の教師であり研究者として部外者であったため，この証明は懐疑的に受け取られていたようです．
そして，１９６６年，アメリカのスタークとイギリスのベイカーが独立に世界中を納得させる証明を与えました．それは不正確であるとして無視されたヘーグナーの証明の誤りを払拭するものでもありました．また，１９６８年，ドイリングはヘーグナーの証明を修正することに成功しましたが，既にそのときはベイカー，スタークに先を越されていて遅きに失した状況にありました．
［補］１９５２年，ヘーグナーは１世紀以上も未解決だったガウスによる予想を証明しているのですが，その証明を標準的な手法で書かなかったため，長らく間違ったものとみなされていました．ところが，１９６６年，ベーカーとスタークがこの問題を解いたのを契機に，ヘーグナーの証明がはじめて注意深く吟味され，その証明が本質的には正しいことが明らかになりました．これでヘーグナーに対する批評が公正でないことが明らかになったのですが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．現在，９個の数
−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３
はヘーグナー数と呼ばれています．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
［補］類数
類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）であって，たとえば，有理数体Ｑは類数１をもち，ガウスの数体Ｑ（ｉ）も類数１をもつ．類数１をもつというのは，Ｑ（√ｄ）のすべてのイデアルが単項であること，すなわち，２次体Ｋのすべての代数的整数が，Ｋの素数の積として表され，その表現が単数（１の約数となる整数）を無視して，一意であることを指している．
ついでながら述べておくが，類数１の９個の虚２次体の完全なリストの２年後に類数２のリストが続いた．ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，
−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７
の１８個ある（ベイカー，スターク，ワインバーガー）．
Ｑ（√−５）の類数は２である．類数１をもつ数体はＱと類似した数論的性質をもつのであるが，大きな類数をもつ数体はＱとかなりかけ離れた性質をもっているというわけである．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】９個の数の不思議な性質
この９個の数
−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３
はとても面白い性質をもっています．
「因数分解の算法（その７）」「因数分解の算法（その８）」では，オイラーの有名な素数生成式
ｎ^2＋ｎ＋４１
を紹介しましたが，この公式はｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．
４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，
１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，
３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，
７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，
１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１
オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．
２次方程式
ｘ^2＋ｘ＋４１＝０
の解は
ｘ＝１／２（−１±√−１６３）
であり，虚２次体Ｑ（√−１６３）の理論と深く関係しているのですが，この不思議な性質も類数１に関するラビノヴィッチの定理から説明されます．
同様に，１変数の２次多項式
ｎ^2＋ｎ＋１７
も高い確率で素数を生成しますが，ｄ＝−６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√−６７）と関係しているというわけです．
ｎ^2＋ｎ＋４１（０≦ｎ≦３９なるすべてのｎについて素数となる）
←→ Ｑ（√−１６３）
でしたが，以下同様に
ｎ^2＋ｎ＋１７（０≦ｎ≦１５） ←→ Ｑ（√−６７）
ｎ^2＋ｎ＋１１（０≦ｎ≦９） ←→ Ｑ（√−４３）
ｎ^2＋ｎ＋５（０≦ｎ≦３） ←→ Ｑ（√−１９）
ｎ^2＋ｎ＋３（０≦ｎ≦１） ←→ Ｑ（√−１１）
ｎ^2＋ｎ＋２（０≦ｎ≦０） ←→ Ｑ（√−７）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
もうひとつの注目すべき事実は
ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）
が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．
ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･
ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･
ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･
これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては
ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・
がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです→［補］．
ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．
ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε
ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε
ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
［補］重さ０の保型形式とムーンシャイン予想
ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数
Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k
ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）
です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式
Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)
ｃ，ｄは互いに素
を満たすというわけです．
保型性の定義から
Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)
Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)
はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．
Ｅk(z+1)＝Ｅk(z) （周期性）
Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z) （双対性）
この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開のもち，
Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n
Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n
Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n
・・・・・・・・・・・・・・・・
σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和
ベルヌーイ数を用いると
Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n
また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより
Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n
とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．
アイゼンシュタイン級数を用いると
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24
＝q-24q^2+252q^3-1472q^4+5483q^5+･･･
は
Δ(z)＝1/1732(E4(z)^3-E6(z)^2)
と表されます．
１９世紀の後半，デデキントとクラインは独立に重さ０の保型関数
ｊ（ａｚ＋ｂ／ｃｚ＋ｄ）＝ｊ（ｚ）
を構成しました．ｊ（ｚ）は最も簡単でよく知られているＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数で，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，
j(z)=E4(z)^3/Δ(z)
＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・
と展開されます．
ところで，１９７３年，イギリスのケンブリッジ大学で誕生し，コンウェイによりモンスターと命名・愛称された散在型有限単純群モンスターを線形群の中に埋め込むとすると，最低でも１９６８８３次の行列ＧＬ（１９６８８３，Ｒ）が必要になります．
このモンスターの既約表現の次数ｄnと係数ｃnを小さい方から数個あげると
ｄ0＝１
ｄ1＝１９６８８３ ｃ1＝１９６８８４
ｄ2＝２１２９６８７６ ｃ2＝２１４９３７６０
ｄ3＝８４２６０９３２６ ｃ3＝８６４２９９９７０
となるのですが，ｊ関数のｑ展開に現れる係数１９６８８４とモンスター群の既約表現の最小次数１９６８８３がほとんど等しいことに注目すると，ｑ，ｑ^2，ｑ^3等の係数は
ｃ1＝ｄ0＋ｄ1
ｃ2＝ｄ0＋ｄ1＋ｄ2
ｃ3＝２ｄ0＋２ｄ1＋ｄ2＋ｄ3
のようにモンスターの既約表現の簡単な線形結合となっていることを見いだされました．これは単なる偶然の一致なのでしょうか？
ムーンシャイン予想の出発点の出発点であるマッカイ・トンプソン予想，コンウェイ・ノートン予想には，このような不思議な事実がたくさん収集されています．しかし，後にボーチャーズが，現代物理学の弦理論にその原点をもつヴィラソロ代数（頂点作用素代数）を用いることによって，これは単なる偶然の一致ではなく，そこに何か真実が隠されていることをつきとめます．
ボーチャーズはその功績によりフィールズ賞を受賞するのですが，さらに，ボーチャーズは一般化されたカッツ・ムーディー・リー代数を導入して，マクドナルド恒等式を導いた論法を適用することにより，分母公式は
Ｊ（ｐ）−Ｊ（ｑ）＝ｐ^(ｰ1)Π（１−ｐ^mｑ^n）^c(mn)
となることを示しました．この等式は１９世紀のデデキントのイータ関数の変形のようでもあり，ヤコビの３重積公式
Σｑ^(m^2)ｙ^m＝Π（１−ｑ^2n）（１＋ｙｑ^(2n-1)）（１−ｙｑ^(2n-1)）
にも結びついています．
これにより，ムーンシャイン予想の一応の解決となったわけですが，ムーンシャイン予想は保型関数論のように古典的なものでもあり，また，物理学の弦理論のように新しいものでもあったというわけです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】類体論
２次体における素数の分解
Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３），Ｑ（√３）
はいずれも類数が１であって，これらの体の整数環は一意分解整域となります．したがって，素数は素イデアルの積としてただ１通りに表されます．
それに対して，Ｑ（√−５）やＱ（√−６）は類数が２であり，Ｚ（√−５）やＺ（√−６）は一意分解とは限らないことを意味しています．
６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）
類数１では，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，・・・の形に書ける素数の場合，Ｑ（√−１）やＱ（√−２）においてｐが完全分解するための必要十分条件
Ｑ（√−１） ←→ １（ｍｏｄ４）
Ｑ（√−２） ←→ １，３（ｍｏｄ８）
がそのままだったのに対して，類数２では，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2，・・・の形に書ける素数に次のような現象が起こります．
ｐ≠２，５でない素数とするとき
「ｐが２０で割ると１または９余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2」
ｐ≠２，３でない素数とするとき
「ｐが２４で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2」
すなわち，Ｑ（√−５）において，ｐが完全分解するための必要十分条件
１，３，７，９（ｍｏｄ２０）
Ｑ（√−６）において，ｐが完全分解するための必要十分条件
１，５，７，１１（ｍｏｄ２０）
に較べて少しずれが生じてしまうのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝