点Ｑ（ｘ1，・・・ｘn）と基本単体のすべてのファセットまでの距離が等しいとき，

　　（ｘ1−ｘ2）／√２＝（ｘ2−ｘ3）／√２＝・・・＝（ｘn-1−ｘn）／√２＝ｘn

が成り立つ．

　今回のコラムでは，空間充填２^n＋２ｎ胞体に関する定理

［定理１］超立方体［０，２］^nの基本単体の最長辺の中点を通る直交超平面

　　ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

は基本単体を合同２分割する．なお，この超平面はｎが偶数のときＰn/2を通る．この定理は重要で，この２^n＋２ｎ胞体がｎ次元の体心立方格子に対応する空間充填図形であることを示している．

［定理２］超平面

　　ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

は正軸体［０，ｎ／２］^nに対応する．その切頂面はｘi＝１である．したがって，正軸体［０，１］^nに対応する切頂面は，ｘi＝２／ｎとなる．

［定理３］正軸体［０，１］^nの頂点を一斉に２ｎ個

　　｜ｘi｜＝２／ｎ

で切り落として残る図形は空間充填図形となる．この超平面はｎが偶数のときＰn/2-1を通る．

の別証明をを与えておきたい．

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【１】ｎが奇数のとき

［１］（ｘ1−ｘ2）／√２＝・・・＝（ｘ(n-3)/2−ｘ(n-1)/2）／√２＝０より，

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘ(n-1)/2＝α

［２］（ｘ(n+3)/2−ｘ(n+5)/2）／√２＝・・・＝ｘn＝０より，

　　ｘ(n+31/2＝・・・＝ｘn＝０

［３］（ｘ(n-1)/2−ｘ(n+1)/2）／√２＝（ｘ(n+1)/2−ｘ(n+3)/2）／√２より，

　　ｘ(n-1)/2＝α／２

［４］ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝１より，

　　（ｎ−１）／２・α＋α／２＝ｎ／２・α＝１　→　ｘ1＝２／ｎ

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【２】ｎが偶数のとき

［１］（ｘ1−ｘ2）／√２＝・・・＝（ｘn/2-1−ｘn/2）／√２＝０より，

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn/2＝α

［２］（ｘn/2+1−ｘn/2+2）／√２＝・・・＝ｘn＝０より，

　　ｘn/2+1＝・・・＝ｘn＝０

［３］ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝１より，

　　ｎ／２・α＝１　→　ｘ1＝２／ｎ

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