切頂・切稜型であっても，切頂型であっても，基本単体の（ｎ−１）次元面上の点Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ，・・・，ｗ）を通り，辺ＰkＰnに垂直な超平面で基本単体を切断することに変わりはない．切頂型の場合，辺Ｐ0Ｐnはｘ軸であって，ｘ軸に垂直な超平面で基本単体を切断するのである．

　３次元の場合，それぞれの形状ベクトルとの対応を示すと

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ→（１，１，１）→大菱形立方八面体

　　（ｘ−ｙ）／√２＝ｚ，（ｙ−ｚ）／√２＝０→（１，０，１）→小菱形立方八面体

　　（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ，（ｘ−ｙ）／√２＝０→（０，１，１）→切頂立方体

　　（ｘ−ｙ）／√２＝０，ｚ＝０→（０，１，０）→立方八面体

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝０→（０，０，１）→立方体

と完全に一致していることがわかる．

　切頂八面体では

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２，ｚ＝０→（１，１，０）→切頂八面体となってこれもどんぴしゃである．

　しかし，ここで困ったことが起こる．４次元切頂八面体では

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２，ｗ＝０→（１，１，１，０）となって，（０，１，０，０）＝正２４胞体にならないのである．何が起こっているのであろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｎ＝４のとき，点Ｑは点Ｐ1を通るため，ｘ−ｙ＝０平面までの距離を定義することができなくなる．ｎ＝５のとき，点Ｑは点Ｐ1と点Ｐ2を通るため，ｘ−ｙ＝０平面，ｙ−ｚ＝０までの距離を定義することができなくなる．ｎ＝６のとき，点Ｑは点Ｐ2を通るため，ｘ−ｙ＝０，ｙ−ｚ＝０，ｚ−ｗ＝０平面までの距離を定義することができなくなる．

　実際，正軸体の切頂面となる（ｎ−１）次元面の頂点は，ｘ＝２／ｎとして

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，ｘ／２，０）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，０）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）

［５］ｎ＝７のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０，０）

［６］ｎ＝８のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）

となる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［補］３^n−１胞体では，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ωであるから，

　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）／（ｎ＋Ｓ√２）

となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝