今回のコラムでは切頂立方体の高次元化を考えてみたい．

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［１］切頂立方体の高次元版

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なるｘ＝ｙ平面上の点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離は等しい．と

　　（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ，（ｘ−ｙ）／√２＝０

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＝ｚ＋√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋２√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋２√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，ｘ−ｙ平面上の点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ，（ｘ−ｙ）／√２＝０

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＝ｗ＋２√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋５√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋５√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ．

　一般には，Ｓ＝（ｎ＋１）（ｎ−２）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．

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［２］中心から切頂面までの距離

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（０，・・・，０）

の距離を求める．

　　Ｐ0（１，０，０，・・・，０）＝ＰnＰ0

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）＝ＰnＰ1

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）＝ＰnＰ2

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）＝ＰnＰn-1

とおくと，切頂面はＰ0Ｐnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ，ｙ，ｚ，・・・）＝（（１＋（ｎ−２）√２）ω，（１＋（ｎ−２）√２）ω，・・・，ω）

を通る．

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，

　　ａ0＝Ｐ0

　　ｑ＝Ｑ

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝ｘ，ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ0‖＝ｘ

　これは

［ａ］頂点面までの距離

　切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．

［ｂ］胞心面までの距離

　胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ

と一致する．

　ｎ＝３のとき，

　　（１／√ｎ）／ｘ＝（１＋√２）／√３

となって，切頂立方体の計量と一致する．

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［３］まとめ

　ここまでくれば，立方八面体の高次元化では

　　（ｘ−ｙ）／√２＝０，ｚ＝０

すなわち，ｘ＝ｙかつｚ＝０，

　立方体の高次元化では

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝０

すなわち，ｘ＝ｙ＝ｚとおけばよいことがわかるだろう．

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