これまで，高次元の準正多面体について知られていることはほとんどない．まず，第一の問題として，ｎ次元準正多胞体にはどれだけの種類があるか？　３次元のねじれ立方体とねじれ１２面体に相当する特殊型は取り扱わないことにするが，重複するものを除くことによって，下表が得られる．

次元　　正多胞体　　準正多胞体

３　　　　　　５　　　　　１１（重複を除く）

４　　　　　　６　　　　　３９（重複を除く）

５　　　　　　３　　　　　４７

６　　　　　　３　　　　　９５

ｎ（≧５）　　３　　　　　２^n＋２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−５

　この表は石井源久先生によって得られたものである．しかし，これらが一律に重要というわけではなく，この中から重要な３つのクラスを取り上げることができる．

　第１のクラスは，ミンコフスキーが原始的平行多面体として取り上げた２（２^n−１）胞体である．とくに，primitive,principal,maximalの条件を満たすものは置換多面体（permutahedron）と同値であって，多面体的組み合わせ論の重要な研究対象となってきた．にも関わらず，その面数公式は先人達の挑戦を退けてきた難題となっている．

　さらに，これまで知られていなかった２つの重要なクラス，ひとつは置換多面体の正軸体版とみなすことができる３^n−１胞体，もうひとつには平行多面体と同じく空間充填性をもつ２^n＋２ｎ胞体を構成し，その面数公式・体積公式について考えてみる．

　とくに，ｎ＝３のとき，空間充填２（２^n−１）胞体と空間充填２^n＋２ｎ胞体は同形（切頂八面体）になることを注意しておく．切頂八面体はすべての次元を通じて唯一，空間充填２（２^n−１）胞体かつ空間充填２^n＋２ｎ胞体という性質をもつ多面体である．このことは３次元平行多面体の元素数が１であることと密接に関係している．

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［補］置換多面体

　ａ1＞ａ2＞・・・＞ａnとするとき，（ａ1，ａ2，・・・，ａn）の添字を置換して得られるｎ！個の点からなる（ｎ−１）次元の多面体は置換多面体（順列多面体）と呼ばれる．とくにａ1＝ｎ，ａ2＝ｎ−１，・・・，ａn＝１の場合を指すこともある

　置換多面体は置換を１回適用することで同じものになる２頂点を辺で結んでできる．たとえば，ｎ＝４の場合の置換多面体で，頂点１３４２と結ばれるのは１４３２，１３２４，３１４２の３頂点である．

　この多面体は単純ゾノトープで，２^n−２個のファセットをもつ．したがって，ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１）！個の頂点と２（２^n−１）個のファセットをもつことになる（２次元置換多面体は六角形，３次元置換多面体は切頂八、面体）．

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