（その２）では体積公式を補足をしたので，今回のコラムでは面数公式について補足しておきたい．

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【１】２（２^n−１）胞体，３^n−１胞体

　これらは単純多面体なので，

　　ｆ1＝ｎｆ0／２

である．ｆ0は基本単体数に一致するので，２（２^n−１）胞体では

　　ｆ0＝（ｎ＋１）！

３^n−１胞体では，

　　ｆ0＝２^n・ｎ！

となる．

　頂点図形（star）を描くことによって，ｎ＝６までの面数公式は構成可能であるが，単純多面体であるから，２^n＋２ｎ胞体よりは楽に構成できる．しかし，それよりもこれらの多面体が再帰的な構造を有していることに気づけば，先人達も苦心した難題も難なく構成可能となるのである．

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

　　２（２^n−１）胞体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　３^n−１胞体の場合・・・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

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【２】２^n＋２ｎ胞体

　正軸体の切頂面となる（ｎ−１）次元面の頂点は，ｘ＝２／ｎとして

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，ｘ／２，０）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，０）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）

［５］ｎ＝７のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０，０）

［６］ｎ＝８のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）

となる．

　ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるため，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要がある．

［１］ｆ0公式

［ａ］ｎが奇数のとき

　ｆ0＝　ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！／２^(n-1)/2・２^n

　＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！・２^(n+1)/2

［ｂ］ｎが偶数のとき

　ｆ0＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！／２^n/2・２^n

　＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・２^n/2

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［２］ｆ1公式

［ａ］ｎが奇数のとき

　　ｅ＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！（ｎ−１）／２＝ｆ0・（ｎ−１）／２^(n+3)/2

とおくと

　　ｆ1＝３ｅ２^(n-1)/2＝３ｆ0・（ｎ−１）／４

［ｂ］ｎが偶数のとき，

　　ｅ＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・（ｎ／２）^2／２＝ｆ0・（ｎ／２）^2／２^(n+2)/2

とおくと

　　ｆ1＝ｅ２^(n+2)/2＝ｆ0（ｎ／２）^2

　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）の頂点を超平面で切り落として残る空間充填図形（２^n＋２ｎ胞体）の面数公式ｆkは，ｆ0，ｆ1公式を除き，一般式は得られていない．

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