［１］２（２^n−１）面体（置換多面体）の体積公式

　　Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝８√２

　　Ｖ4＝１２５√５／４

　　Ｖ5＝３２４√３

　　Ｖ6＝１６８０７√７／８

　　Ｖ7＝６５５３６

［２］３^n−１面体の体積公式

　　Ｖ2＝２（１＋√２）

　　Ｖ3＝２２＋１４√２

　　Ｖ4＝２６２＋１８４√２

　　Ｖ5＝４１０６＋３１２８√２

　　Ｖ6＝９１２３６＋５７１７２√２

　　Ｖ7＝４（４７６７０９＋３９３５８１√２）

　これらは，線分の「ミンコフスキー和」

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

として求積したものです．どのように計算したのか，ポイントを示しておきます．

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【１】２（２^n−１）胞体の場合

　稜の長さが√２の正単体の高さＨnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられる．すなわち，辺の長さを１に規格化すると，高さは

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）／√２

で与えられる．

　（ｎ＋１）次元の場合，新しく加わった軸上の正の側に１辺の長さが１となるように新しい頂点を取り，中心が原点にくるように全体を平行移動させると，

　　Ｈn・ｎ／（ｎ＋１）＝√（ｎ／２（ｎ＋１））

　　−Ｈn・１／（ｎ＋１）＝−√（１／２ｎ（ｎ＋１））

より，具体的な座標値は

　　（−１／２，　−√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（＋１／２，　−√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，√（１／３），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，０，√（３／８），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，０，０，√（２／５），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，０，０，・・・，＋√（ｎ／２（ｎ＋１）））

となる．

　たとえば，２次元正単体の３頂点は

　　（−１／２，−√（１／１２））

　　（＋１／２，−√（１／１２））

　　（０，√（１／３））

３次元正単体の４頂点は

　　（−１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　（＋１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　（０，√（１／３），−√（１／２４））

　　（０，０，√（３／８））

　そこで，

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

とおくと，

　　Ｐ0（−ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ1（＋ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ2（０，＋２ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ3（０，０，＋３ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ4（０，０，０，＋４ａ4，・・・，−ａn）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（０，０，０，０，・・・，＋ｎａn）

　Ｐ0が原点になるように平行移動させると，

　　Ｐ0（０，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（２ａ1，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ3（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐn（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトルは

　　Ｐ0Ｐ1＝（２ａ1，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ2＝（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ3＝（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ4＝（ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ0Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ0Ｐn＝（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ1Ｐ2＝（−ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1Ｐ3＝（−ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ1Ｐ4＝（−ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ1Ｐn-1（−ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ1Ｐn＝（−ａ1，ａ2，ａ3，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ2Ｐ3＝（０，−２ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ2Ｐ4＝（０，−２ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ2Ｐn-1（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ2Ｐn＝（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ3Ｐ4＝（０，０，−３ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ3Ｐn-1（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ3Ｐn＝（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐn-1Ｐn＝（０，０，０，・・・，−（ｎ−１）ａn-1，（ｎ＋１）ａn）

であって，それぞれノルムで割って規格化する必要がある．

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【２】３^n−１胞体の場合

　ｎ次元立方体の頂点は

　　（±１，±１，・・・，±１）

ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（±１，０，・・・，０）

　　（０，±１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，±０，・・・，１）

で与えられるから，ｎ^2組の平行な規格化ｎ次元ベクトルは

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

　　（±１，−１，０，・・・，０）／√２

　　（±１，０，−１，・・・，０）／√２

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（±１，０，０，・・・，−１）／√２

　　（０，±１，−１，０，・・・，０）／√２

　　（０，±１，０，−１，・・・，０）／√２

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，±１，０，０，・・・，−１）／√２

　　（０，０，・・・，±１，−１）／√２

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