√２は無理数であること，素数は無限にあることはギリシャ数学の中でも有名な定理で，それぞれ，ピタゴラス，ユークリッドが背理法を用いて証明しています．その証明は誰しもが容易に理解できるものです．

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【１】α＝√２＋√３は無理数である

　　α−√２＝√３

の両辺を２乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^2−１）／２α

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

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【２】α＝3√２＋√２は無理数である

　　α−√２＝3√２

の両辺を３乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^3＋６α−２）／（３α^2＋２）

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

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【３】背理法と数学的帰納法

［Ｑ］奇数の和＝平方数

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

を数学的帰納法を用いて証明せよ．

［Ａ］ｎ＝１のとき，１＝１^2であるから成立．ｎ＝ｋのとき

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｋ−１）＝ｋ^2

が成立すると仮定すると，ｎ＝ｋ＋１のとき

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｋ−１）＋（２ｋ＋１）＝ｋ^2＋（２ｋ＋１）＝（ｋ＋１）^2

となって成立する．

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