自然数の中に等間隔になる数は当たり前であるから，素数の中に等間隔の並ぶ数を考える．３個組，４個組，５個組，・・・

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【１】エルデシュ予想

　「自然数列｛ａi｝がΣ１／ａi＝∞を満たすならば，自然数列｛ａi｝は任意の長さの等差数列を含む．」

　Σ｛１／ｐ）→∞なので，エルデシュ予想を証明すれば各項が素数である任意の長さの等差数列が存在することがわかる．この事実は２００４年にグリーンとタオによって証明された．

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【２】グリーン・タオの定理

　ここで，素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する．」（グリーン・タオの定理：２００４年）

　つまり，３個組，４個組，５個組，・・・，ｎ個組．ｎは１００個でも１００万個でも好きな数だけ等差数列を作れるのである．ただし，公差ｄを指定することはできない．

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【３】フェルマー・カタラン予想

　　ａ^m＋ｂ^n＝ｃ^k

　　ａ，ｂ，ｃは互いに素，１／ｍ＋１／ｎ＋１／ｋ＜１

の解か存在しない．・・・この予想はまだ証明されていないが，これまでに

　　２^5＋７^2＝３^4

　　７^3＋１３^2＝２^9

　　３^5＋１１^4＝１２２^2

など１０個の解が見つかっている．

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【４】テイデマン予想

　　ａ^m＋ｄ＝ｂ^n

には有限個の解しかない．この予想もまだ証明されていない．

　この特別な場合（ｄ＝−１）はカタラン予想

　　「ａ^m−ｂ^n＝１には３^2−２^3＝１以外の解はない」

は，２００２年，ミハエレスクによって証明された．

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