これまで体積公式が知られている高次元多面体は，

　　正単体αn，正軸体βn，超立方体γn，超球Ｂn

それに標準単体Δn，角錐Ｐｙｒnを加えても少数にすぎない．他に体積の計算が可能な高次元多面体はないのだろうか？

　さらに，ｎ次元正多胞体のｋ次元面数（ｋ＝０〜ｎ−１）は計算可能であるのに対し，ｋ次元面数が計算可能なｎ次元準正多胞体は驚くほど少ない．

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【１】ｎ次元準正多胞体にはどれだけの種類があるか？

　３次元正多面体は５種類あり，正四面体は自己双対である．３次元準正多面体は１３種類あり，製作法から

　　切頂型・・・７種類

　　切頂切稜型・・・４種類

　　ねじれ型・・・２種類

と分類される．ねじれ型は特殊型であって，これの高次元対応物がいくつあるかはわかっていない．そのため，今後は切頂型・切頂切稜型準正多胞体のみ扱うことにする．

　４次元正多胞体は６種類あり，正５胞体，正２４胞体は自己双対である．５次元以上の正多胞体は３種類あり，正ｎ＋１胞体は自己双対である．非自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は

　　２^n−１

自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は

　　２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−１

種類ある．

　重複するものを除くことによって，下表が得られる．

次元　　正多胞体　　準正多胞体

３　　　　　　５　　　　　１１（重複を除く）

４　　　　　　６　　　　　３９（重複を除く）

５　　　　　　３　　　　　４７

６　　　　　　３　　　　　９５

ｎ（≧５）　　３　　　　　２^n＋２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−５

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【２】準正多胞体の重要な３つのクラス

　（特殊型を除く）ｎ次元準正多胞体には多くの種類があるが，その中には重要な３つのクラスが存在すると考えられる．

　まず，それらの製作法を考えると

　　正単体切頂型（２（ｎ＋１）胞体）

　　正軸体切頂型（２^n＋２ｎ胞体）

　　正単体切頂切稜型（２（２^n−１）胞体）

　　正軸体切頂切稜型（３^n−１胞体）

の４クラスの分類されるが，このうち，正単体切頂型はあまり重要な性質を持ち合わせおらず，残りの３つが重要となる．

　　　　　　　　　　　　単独空間充填多面体　　単純ゾノトープ

　　正単体切頂型　　　　　　　　×　　　　　　　　　×

　　正軸体切頂型　　　　　　　　○　　　　　　　　　×

　　正単体切頂切稜型　　　　　　○　　　　　　　　　○

　　正軸体切頂切稜型　　　　　　×　　　　　　　　　○

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【３】２^n＋２ｎ胞体

［１］体積公式

　立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについて，角砂糖の各頂点まわりを正八面体状に少しずつ切断し，削ってできた空間は常に多面体で充填することを考える．

　すなわち，２種類の多面体による空間充填を常に保ったまま相互遷移させると，中間値の定理（のアナログ）により２種類の多面体が同形となる値が存在する．そのとき，この図形は単一空間充填図形となる．

　計算は割愛するが，空間充填２^n＋２ｎ面体は

［１］ｎ次元立方体［０，２］^nを超平面：ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で切頂する

あるいは

［２］ｎ次元正軸体を超平面：ｘ1＝２／ｎで切頂する

ことによって得られる．ｘ＝２／ｎで正軸体βnを切頂すると，ｎ次元切頂八面体βn(x)を構成することができる．

　２次元では正方形，３次元では切頂八面体，４次元では正２４胞体となる．このようにβn(x)は空間充填２^n＋２ｎ面体であり，その体積は，ｎ次元切頂八面体の切頂面間距離が４／ｎであることから，

　　ｖｏｌβn(x)＝（４／ｎ）^n／２

また，１象限分の体積は

　　ｖｏｌΔn(x)＝（２／ｎ）^n／２

になる．

　３次元では切頂八面体の体積はそれに外接する立方体の半分であることはよく知られている．この性質は任意の次元についても成り立つのである．

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［２］面数公式

　正軸体の切頂面となる（ｎ−１）次元面の頂点は，ｘ＝２／ｎとして

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，ｘ／２，０）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，０）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）

［５］ｎ＝７のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０，０）

［６］ｎ＝８のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）

となる．ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるため，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要がある．

　また，この多面体はｆ1＝ｎ／２・ｆ0も成り立たないから単純多面体ではないし，置換多面体にみられるような逐次構造も有していない．そのため，その形を構成するにはかなりの洞察力がいるが，頂点図形（star）を描くことによって，６次元までは構成可能であった．

２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（４，４）　　　（正方形）

３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３，１４）　　　（切頂八面体）

４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）　　　（正２４胞体）

５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（２４０，７２０，７２０，２８０，４２）

６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１６０，１４４０，２８８０，２１６０，６３６，７６）

この計算は，のちにコンピュータによる数え上げによって再確認された．

　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）の頂点を超平面で切り落として残る空間充填図形（２^n＋２ｎ胞体）の面数公式ｆkは（ｆ0，ｆ1公式を除き）２（２^n−１）胞体や３^n−１胞体の面数公式のような一般式は得られていない．

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【４】２（２^n−１）胞体

　置換多面体は（ｎ＋１）！個の頂点と２（２^n−１）個のｎ−１次元胞をもつ．また，置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体である．２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．正単体αnを切頂・切稜することによって構成することができる．

［１］体積公式

　ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影であるから，ｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．ｖiは辺に沿ったベクトルである．したがって，この体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．すなわち，（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味している．なお，このベクトル配置は１次従属になることもあり，その場合，ある項はゼロになるから（ｍ，ｎ）個以下の平行体に分解できることになる．

　　Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝８√２

　　Ｖ4＝１２５√５／４

　　Ｖ5＝３２４√３

　　Ｖ6＝１６８０７√７／８

　　Ｖ7＝６５５３６

次元数ｎの一般式としての体積公式は得られていない．

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［２］面数公式

　置換多面体が逐次構造を有していることに着目する．そして正単体の面数公式

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

を利用すると

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとめることができる．

　この計算は２通りの方法，すなわち，コンピュータによる数え上げと頂点図形（star）を描くことによって一致することが確認されている．先人達も苦心した難題はこれにて完結，次は３^n−１胞体の体積公式・面数公式を求めてみたい．

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【５】３^n−１胞体

　正軸体βnあるいは同じことではあるが超立方体γnを切頂・切稜することによって構成することができる．頂点数２^n・ｎ！．置換多面体の正軸体版と考えることができるが，この多面体は空間充填多面体ではない．

［１］体積公式

　置換多面体との違いは，この多胞体にはｍ＝ｎ（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ^2組の平行なｎ次元ベクトルがあることで，考え方自体は２（２^n−１）胞体の場合と同じである．

　　Ｖ2＝２（１＋√２）

　　Ｖ3＝２２＋１４√２

　　Ｖ4＝２６２＋１８４√２

　　Ｖ5＝４１０６＋３１２８√２

　　Ｖ6＝９１２３６＋５７１７２√２

　　Ｖ7＝４（４７６７０９＋３９３５８１√２）

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［２］面数公式

　正軸体の面数公式

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

を利用すると，

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとめることができる．

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【６】まとめ

　次元数ｎの一般質として得られているとき○で表すことにすると

　　　　　　　　　　　　面数公式　　　　体積公式

２^n＋２ｎ胞体　　　　　　　△　　　　　　　○

２（２^n−１）胞体　　　　　○　　　　　　　△

３^n−１胞体　　　　　　　　○　　　　　　　△

　なお，ｎ次元準正多胞体全種類のｋ次元面数についてはつい最近計算が完了したばかりである．体積は角錐分解して，各「側面」の形状と中心までの距離、それらの個数が求まれば，それで求められたも同然であるが，コンピュータでの出力は小数値になってしまう．かといって，解析的に出すのは面倒である．

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【補】デーン・サマービル関係式

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立つ．

　単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になる．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式であるが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ．

　デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．

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