今回のコラムでは（その８３）で取り上げなかった正単体と正軸体の非分解合同性について考えてみる．

　　正ｎ＋１胞体　→　ｃｏｓδa＝１／ｎ，ｓｉｎδa＝√（ｎ^2−１）／ｎ

　　正２ｎ胞体　→　ｃｏｓδb＝０，ｓｉｎδb＝１

　　正２^n胞体　→　ｃｏｓδc＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδc＝２√（ｎ−１）／ｎ

　正単体と正軸体の非分解合同性の関係式は

　　Ｎ1δa＋Ｎ2δc≠０　　（ｍｏｄ　π）

と書くことができる．

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　　ｕ＝１／ｎ＋√（ｎ^2−１）／ｎｉ

　　ｖ＝ｉ

　　ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋√（ｎ−１）／ｎｉ

とおく．｜ｕ｜＝１，｜ｖ｜＝１，｜ｗ｜＝１

　ｕ＝１／ｎ＋ｉ√（ｎ^2−１）／ｎについては，

　　ｕ−１／ｎ＝ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ

より，ｕは２次方程式ｎｕ^2−２ｕ＋ｎ＝０の解である．

　　ｎｕ^2＝２ｕ−ｎ

　　ｎ^2ｕ^3＝２ｎｕ^2−ｎ^2ｕ＝２（２ｕ−ｎ）−ｎ^2ｕ

　　　　　　＝（４−ｎ^2）ｕ−２ｎ

帰納法により

　　ｎ^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1　　　（ａ1≠０，ｂ1＝０　ｍｏｄ　ｎ）

を示すことが出来る．

　同様に，ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋２√（ｎ−１）／ｎｉについては，

　　ｗ＋（ｎ−２）／ｎ＝ｉ２√（ｎ−１）／ｎ

より，ｗは２次方程式ｎｗ^2＋２（ｎ−２）ｗ＋ｎ＝０の解であり，

　　ｎ^m-1ｗ^m＝ａ2ｗ＋ｂ2　　　（ａ2≠０，ｂ2＝０　ｍｏｄ　ｎ）

がいえる．

　ここで，複素数の積

　　Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ2-1ｗ^Ｎ2

を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^Ｎ1-1，ｎ^Ｎ2-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角

　　Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1）＋Ａｒｇ（ｗ^Ｎ2）

がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2の虚部

　　Ｉｍ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）

が０にはならないことがいえればよいことになる．

　結局

　　Ｚ＝（ａ1ｕ＋ｂ1）（ａ2ｗ＋ｂ2）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

　　ａ2≠０，ｂ2＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

に帰着されれば，Ｎ1δa＋Ｎ2δcは有理係数で線形独立であり，正単体と正軸体の非分解合同性という結論が主張できることになる．

　　Ｉｍ＝√（ｎ−１）／ｎ^2｛２ａ2（ａ1＋ｂ1ｎ）＋ａ1（−ａ2（ｎ−２）＋ｂ2ｎ）√（ｎ＋１）｝

と展開され，Ｉｍ≠０ならば，正単体と正軸体の非分解合同性がいえるが，√（ｎ＋１）が整数のとき，すなわち，

　　ｎ＝８，１５，２４，３５，４８，６３，８０，９９，１２０，・・・

などでは，分解合同可能性があることになる．

　８次元，２４次元という数字にどのような意味があるかというと，実はこの２つの次元はかなり特別な意味をもっていて，高度に対称的な格子状配置になっているため接吻数（τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０）が計算できる特殊な次元なのである．実際に，８次元空間ではδ1＋２δ2＝３６０°に対応する空間充填形を２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせて構成することができる．

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　１種類の正多胞体による空間充填形をまとめると，平面充填形３種類（正三角形，正方形，正六角形），３次元空間充填形１種類（立方体），４次元空間充填３種類（８胞体，１６胞体，２４胞体），５次元以上の空間充填形は１種類（超立方体）ということになります．

　もし，複数使ってよければ，３次元では正四面体と正八面体の組み合わせ，８次元では８次元正単体と８次元正軸体を組み合わせたものだけが空間を充填します．４次元の正５胞体＋正１６胞体＋正６００胞体も二面角の和が２πですか，これは空間充填形ではありません．

　５次元以上の空間では，直角三角錘ＲＮを２^n-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になるので，８次元の場合だけが問題となるのですが，

　　１７２８０×正単体＋２１６０×正軸体→超立方体ではない亜正多面体

となって，超立方体には解体再編されません．よって，正単体と正軸体の非分解合同性が確定するのです．

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