（その８２）で一瞬頭の中をよぎったのが「デーン不変量と二面角の幾何学」シリーズである．

　　正ｎ＋１胞体　→　ｃｏｓδa＝１／ｎ，ｓｉｎδa＝√（ｎ^2−１）／ｎ

　　正２ｎ胞体　→　ｃｏｓδb＝０，ｓｉｎδb＝１

　　正２^n胞体　→　ｃｏｓδc＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδc＝２√（ｎ−１）／ｎ

　　ｕ＝１／ｎ＋√（ｎ^2−１）／ｎｉ

　　ｖ＝ｉ

　　ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋√（ｎ−１）／ｎｉ

とおく．｜ｕ｜＝１，｜ｖ｜＝１，｜ｗ｜＝１

　δaとδcは４直角の整数分の１にならないことは直観的にもわかるが，直角と有理比にならないことを証明したい．

　　ｍδa≠ｎπ

　　ｍδc≠ｎπ

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【１】正単体と超立方体の非分解合同性

　ｕ＝１／ｎ＋ｉ√（ｎ^2−１）／ｎについては，

　　ｕ−１／ｎ＝ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ

より，ｕは２次方程式ｎｕ^2−２ｕ＋ｎ＝０の解である．

　　ｎｕ^2＝２ｕ−ｎ

　　ｎ^2ｕ^3＝２ｎｕ^2−ｎ^2ｕ＝２（２ｕ−ｎ）−ｎ^2ｕ

　　　　　　＝（４−ｎ^2）ｕ−２ｎ

帰納法により

　　ｎ^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1　　　（ａ1≠０，ｂ1＝０　ｍｏｄ　ｎ）

を示すことが出来る．

　ここで，複素数の積

　　Ｚ＝ｎ^m-1ｕ^m

を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^m-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角

　　Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｕ^m）

がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^mの虚部

　　Ｉｍ（ｕ^m）

が０にはならないことがいえればよいことになる．

　結局

　　Ｚ＝ａ1ｕ＋ｂ1＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

に帰着され，ａ1≠０により，Ｉｍ≠０がいえる．

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【２】正軸体と超立方体の非分解合同性

　同様に，ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋２√（ｎ−１）／ｎｉについては，

　　ｗ＋（ｎ−２）／ｎ＝ｉ２√（ｎ−１）／ｎ

より，ｗは２次方程式ｎｗ^2＋２（ｎ−２）ｗ＋ｎ＝０の解であり，

　　ｎ^m-1ｗ^m＝ａ2ｗ＋ｂ2　　　（ａ2≠０，ｂ2＝０　ｍｏｄ　ｎ）

がいえる．

　ここで，複素数の積

　　Ｚ＝ｎ^m-1ｗ^m

を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^m-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角

　　Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｗ^m）

がｎπにならないこと，すなわち，ｗ^mの虚部

　　Ｉｍ（ｗ^m）

が０にはならないことがいえればよいことになる．

　結局

　　Ｚ＝ａ2ｗ＋ｂ2＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

　　ａ2≠０，ｂ2＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

に帰着され，ａ1≠０により，Ｉｍ≠０がいえる．

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