■平行体の体積とグラミアン(その82)

 (その75)において,準正多胞体の体積とその外接正多胞体の体積比をまとめた.

[1]2^n+2n胞体の体積=1/2・(4/n)^n

   外接正軸体の体積=2^n/n!

したがって,体積比はn!/2・(2/n)^n

 また,外接立方体の体積=(4/n)^n

であるから,この場合の体積比は1/2である.

[2]n=7までの限られた検討であるが,2(2^n−1)胞体の体積はc(n+1)^1/2

   外接正単体の体積=(n+1)^1/2/2^n/2n!

したがって,体積比はc2^n/2n!

 いずれにせよ[1]の元素が整数倍で立方体になり,その元素の有理数倍で正単体の体積と等しくなることがわかる.すなわち,

  mVs=nVc

となって,デーンの定理と似た形になるが,このことによって(その74)での考察に変化はあるのだろうか?

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  V=V1a^n,Λ=Λ1b^n,

  V/Λ=V1/Λ1(a/b)^n

において,V1は偶数次元で整数,奇数次元で√2,Λ1は√(n+1),√{(n+1)/2}で有理的に表される.

 したがって,体積に含まれる定数√(n+1),√{(n+1)/2}が鍵を握るようである.

[1]偶数次元で√(n+1)が整数kとなるのはn=k^2−1のとき

[2]奇数次元で√{(n+1)/2}がk√2となるのはn=4k^2−1のときである.

 これは特定のnについては可能(例えばn=3なら(n+1)^1/2=2で実際可能)であるが,それ以外のとき,V/Λが有理的に表されるかどうかは不明である(例えばn=8について.しかし,この計算は時間がかかるのでアボートさせた).

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[まとめ]mVs=nVcにおいて,Vsは有理数(無理数)のとき,Vcが無理数(有理数)になれば矛盾を生じるので都合がいいが,体積を使った議論では限界がありそうである.

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