調和級数

　　Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は，はじめの１０００項で７．４８５，１００万項で１４．３９３，１０億項で２１．３，１兆項で２８．２と非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散します．調和級数が発散することは容易に示すことができます．

　１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

　１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

　・・・・・

したがって，

　　Ｈ∞＞１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・→∞

　幾何級数と調和級数とは，だんだん小さくなる正の分数の足し算という点では似ていますが，後者ではちりが積もって山となるわけで，その無限の果てにあるものは全く非なるものです．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞

は容易に示すことができます．

　奇数項だけを集めて作った級数は，調和級数よりも増加の速度は遅い者の合算します．

　　１／１ ＋１／３ ＋１／５ ＋１／７ ＋・・・

　＞１／２＋１／４＋１／６＋１／８＋・・・

　＝１／２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）→∞

同様に，偶数項だけ集めて作った級数も収束せず無限大に発散します．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】素調和級数の発散

　調和級数（自然数の逆数の和）が発散することはよく知られている．それどころか，素数の逆数の和だけでさえ発散する．

（証）ｐ（≦ｎ）なる素数を考える．

　　Π（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）＝Π１／（１−１／ｐ）

を展開すると自然数の逆数は必ずでてくるから

　　Π（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）＞１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｎ→∞

　　Π１／（１−１／ｐ）→∞

左辺の対数をとると

　　ｇ（ｎ）＝Σｌｏｇ（１＋１／（ｐ−１））→∞

　ここで，ｌｏｇｘ＜ｘを用いて

　　ｌｏｇ（１＋１／（ｐ−１））＜１／（ｐ−１）＝１／ｐ＋１／ｐ（ｐ−１）＜１／ｐ＋１／（ｐ−１）^2

　　ｇ（ｎ）＜Σ｛１／ｐ＋１／（ｐ−１）^2｝＝Σ｛１／ｐ）＋π^2／６

これよりΣ｛１／ｐ）→∞

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】diet調和級数の収束

　調和級数は発散しますが，分母に９が含まれている項をすべて取り除けば発散しなくなります．

　　Ｊ＝（１／１＋・・・＋１／８）＋（１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８）＋（１／１００＋・・・＋１／８８８）＋・・・

において，括弧内のすべての項を括弧内の最大項に置き換えると

　　１／１＋・・・＋１／８＜１／１＋・・・１／１＜９／１

　　１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８＜１／１０＋・・・１／１０＜９^2／１０

　　１／１００＋・・・＋１／８８８＜１／１００＋・・・１／１００＜９^3／１０^2

　　Ｊ＜９／１＋９^2／１０＋９^3／１０^2＋・・・＝９／（１−９／１０）＝９０

したがって，９をすべて取り除いた調和級数は収束します．同様に，取り除く数がどれであっても収束するのですが，１０％の数を取り除くと収束する・・・なにか奇異に感じられませんか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】すべての数の中に９が含まれる数はいくつあるか？

　種明かしをしよう．１から１０^nまで，数字ｘが含まれる数字の個数は（１０^n−９^2），したがって，ｘが含まれる数字の比率は（１０^n−９^n）／１０^n＝１−（９／１０）^nで表される．

　したがって，１から１０までで１０％，１００までで１９％，１０００までで２７％，１００００までで３４％であるが，桁数が大きくなるほどｘが含まれる確率は高くなり，この後，急速に１００％に近づく．１０％でなく事実上ほとんどすべての数にｘが含まれているといえるのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】無零調和級数の収束

［Ｑ］分母に０が含まれている項をすべて取り除けば無零調和級数は収束する．

［Ａ］１０^α-1と１０^αの間にある無零数の個数は９^α個だから，その間にある無零数の逆数の和は９^α／１０^α-1より小さい．したがって，

　　Σ１／ａ＜Σ９^α／１０^α-1＝９／（１−９／１０）＝９０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【５】まとめ

　９抜きでも０抜きでも，どの１桁の数字を抜いても残った項は有限の値に収束する．さらにいうと１桁の数に限る必要はなく，どんな数を抜いても間引いた調和級数は収束する．９でも３１４１５９でも同じ理由から収束するのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝