B. Cox and S. Wagon, Drilling for Polygons:, American Math Monthly, 119(2012), 300-312

では包絡線が円弧となることが設計の原点になっている．

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【１】包絡線の求め方

　曲線：ｙ＝ｆ（ｘ，θ）において，パラメータθが動くとき，θとθ＋Δθに対応する２本の隣り合った曲線を考えると，その交点はΔθ→０の極限で包絡線上の点となります．

　ｘを固定するとき，この交点のｙ座標はパラメータθが変わっても変化しないことで特徴づけられますから，

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　θ＝ｇ（ｘ）

を求め，元の方程式に代入すると包絡線の方程式

　　ｙ＝ｆ（ｘ，ｇ（ｘ））

が得られます．

　自明な例として，ｘ軸上を転がる半径ｒの円を考えます．中心が原点から距離ξ（θ）だけｘ方向に離れた円の方程式は

　　（ｘ−ξ（θ））^2＋（ｙ−ｒ）^2＝ｒ^2

　　ｙ＝ｒ±｛ｒ^2−（ｘ−ξ（θ））^2｝^(1/2)

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　（ｘ−ξ（θ））ｄξ／ｄθ＝０

より，ｘ＝ξ（θ）を元の方程式に代入すると

　　ｙ＝０，ｙ＝２ｒ

となって，ｘ軸とそれに平行な直線が包絡線となることがわかります．

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【２】ドリルの場合

　ｎ角の穴をあけるドリルの場合は，もちろんこんなに簡単ではありませんが，同様のアイディアで包絡線の方程式を求めることができます．中心の軌跡が（ξ（θ），η（θ））でパラメータ表示される半径ｒの円

　　（ｘ−ξ（θ））^2＋（ｙ−η（θ））^2＝ｒ^2

　　ｙ＝η（θ）±｛ｒ^2−（ｘ−ξ（θ））^2｝^(1/2)

の一部がドリルの円弧であるとき，

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　（ｘ−ξ（θ））ｄξ／ｄθ＋（ｙ−η（θ））ｄη／ｄθ＝０

　これより，包絡線の方程式は

　　ｘ＝ξ（θ）＋ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）−ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

および

　　ｘ＝ξ（θ）−ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）＋ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

とパラメータ表示されます．

　これは中心の軌跡（ξ，η）と直交する方向（法線方向）にｒだけ離れた２点の軌跡です．すなわち，中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです．

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【３】包絡線の求め方（その２）

　陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０上の点（ｘ，ｙ）で接線の方程式を求めるには，２変数関数の微分の知識が必要です．その場合，ｆ（ｘ，ｙ）＝０のｙをｘの関数（ｆ（ｘ，ｙ（ｘ））＝０）とみなして，両辺をｘで偏微分すれば２変数関数の合成微分の公式によって

　　∂ｆ／∂ｘｄｘ／ｄｘ＋∂ｆ／∂ｙｄｙ／ｄｘ＝０

すなわち，ｆx＋ｆyｄｙ／ｄｘ＝０より，

　　ｙ’＝ｄｙ／ｄｘ＝−ｆx／ｆy

が得られます．ｆx＋ｆyｙ’＝０の式をｘの関数とみて，さらに，この両辺をｘで微分すれば

ｆxx＋ｆxyｙ’＋（ｆyx＋ｆyyｙ’）ｙ’＋ｆyｙ”＝０

より

　　ｙ”＝ｄ^2ｙ／ｄｘ^2

　　　　＝−１／ｆy（ｆxx−２ｆxyｆx／ｆy＋ｆyyｆx^2／ｆy^2）

が得られます．決して，ｙ”＝−ｆxx／ｆyyなどというでたらめを書かないように！

　曲線族の各々の曲線すべてに接する曲線が包絡線です．曲線族が陰関数ｆ（ｘ，ｙ，ｔ）＝０で与えられている場合，パラメータｔが動くときの包絡線の方程式を求めるにはｆt＝０を解いてｔ＝ｇ（ｘ，ｙ）を消去したり，あるいはｘ，ｙをｔで表します．

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　パラメータ表示された曲線：ｘ＝ｘ（β，θ），ｙ＝ｙ（β，θ）が与えられている場合，パラメータβが微小変化するとき，包絡線に接しているある点における接線の傾きは

　　ｄｙ／ｄｘ＝（∂ｙ／∂β）／（∂ｘ／∂β）

で，この傾きの曲線に沿ってｘ方向に∂ｘ／∂β，ｙ方向に∂ｙ／∂β変化します．

　パラメータθが動くときも同様で，

　　ｄｙ／ｄｘ＝（∂ｙ／∂θ）／（∂ｘ／∂θ）

したがって，

　　（∂ｙ／∂β）／（∂ｘ／∂β）＝（∂ｙ／∂θ）／（∂ｘ／∂θ）

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

が成り立てば接線に沿って動いていくことになります．この点の軌跡が求める包絡線にほかなりません．

　ペリトロコイド曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

となって，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となります．

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【４】ドリルの場合（その２）

　ローター曲線が円弧の組み合わせであれば，曲率中心の軌道を求めることによって簡単に包絡線が得られるのですが，ローター曲線は円弧ではありません．そこで，今度はローター曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）φ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）φ）

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

に対して施すことにします．

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂φ）−（∂ｙ／∂φ）（∂ｘ／∂φ）＝０

を計算すると

　　Ａｓｉｎ（（ｎ−２）φ−（ｎ−２）θ）＋Ｂｃｏｓ（（ｎ−２）φ−（ｎ−２）θ）＝Ｃ

の形に整理されます．

　Ａ，Ｂ，Ｃの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが，ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　ｓｉｎ（（ｎ−２）φ−（ｎ−２）θ＋ψ）＝Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)

より

　　（ｎ−２）φ＝（ｎ−２）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｓｉｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）

　＝（ｎ−２）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）^(1/2)）

　これで，φをβ，θ（β）の関数として表すことができ，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となるというわけです．この問題ではうまい変形が見つからず，力任せのかなり大変な計算になります．

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