無理数ｕは，誤差が

　　｜ｕ−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2

である無限個のディオファントス近似をもつ．たとえば，

　　｜π−２２／７｜＜１／２（７）^2＝０．０１

　　｜π−３３５／１１３｜＜１／２（１１３）^2＝０．０００３９

　また，ペル方程式

　　ｘ^2−ｄｙ^2＝±１

を満たすｘ／ｙは√ｄの最良近似を与える．

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【１】√２の近似値とペル数列

　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．

　√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると

　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）

なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

このとき，±１は交互に繰り返し現れます．

　√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．

　　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・

　すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると

　　Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１

となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．

　　ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

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【２】有理数のディオファントス近似

［Ｑ］ａグラムとｂグラムのおもりがたくさんあるとき，どんな重さを計ることができるのだろうか？

［Ａ］ｄ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ）とすると

［１］ａｘ＋ｂｙ＝ｄは整数解をもつ．

［２］ａｘ＋ｂｙ＝ｎが整数解をもつならな，ｎはｄの倍数である．

　すなわち，計れる重さの最小数が最大公約数であって，その倍数全体を計ることができるのである，ただし，おもりの選び方は１通りでないことに注意．たとえば，ａ＝２２，ｂ＝１５の場合，

　　６＝２２×（−１２）＋１５×１８＝２２×３＋１５×（−４）

　一般に１組の特殊解を（ｘ0，ｙ0）とすると，一般解は

　　ｘ＝ｘ0−ｂｔ／ｄ，ｙ＝ｙ0＋ａｔ／ｄ

で与えられる．もし，使用するおもりの数を最小にしたいならば，

　　｜ｘ｛＋｜ｙ｜＝｜ｘ0−ｂｔ／ｄ｜＋｜ｙ0＋ａｔ／ｄ｜

の最小値を求めればよい．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ａ，ｂが互いに素ならば，ｄ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝１であるから，

　　ａｘ＋ｂｙ＝１

を満たす整数（ｘ，ｙ）が存在する．このことから，誤差±１を許すことにした有理数のディオファントス近似が存在することがわかるだろう．すなわち，有理数ｕは，誤差が

　　｜ｕ−ａ／ｂ｜≦１／２ｂ^2

であるディオファントス近似をもつ．

　たとえば，１０３／１２７のよいディオファントス近似をみつけるために，

　　１０３×３７＋１２７×（−３０）＝１

より，

　　｜１０３／１２７−３０／３７｜＝１／（１２７×３７）≦１／２（３７）^2

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【３】問題

［Ｑ］ｎ＝３８　　（ｍｏｄ　１０３）

　　　ｎ＝１７　　（ｍｏｄ　１２７）

を満たす最小の正の整数ｎををみつけよ．

［Ａ］中国式剰余定理の問題である．前節より

　　１０３×３７＋１２７×（−３０）＝１

よって，

　　１＝１０３×３７　　（ｍｏｄ　１２７）

　　１＝１２７×（−３０）　　（ｍｏｄ　１０３）

　　１７＝１０３×３７×１７　　（ｍｏｄ　１２７）

　　３８＝１２７×（−３０）×３８　　（ｍｏｄ　１０３）

　　ｎ＝１０３×３７×１７＋１０３×３７×１７＝−７９９９３

　　ｎ＝−７９９９３＋（１０３×１２７）ｋ

は２つの合同式を満たす．ｋ＝７のとき，ｎは最小の正の整数１１５７４となる．

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