αnを最も簡単に作るには，全体を１次元あげてｎ＋１次元空間内の単位点ｎ＋１個から生成をされる単体をとることである．ｎ＝７の場合，α7の頂点の座標を

　　（１，０，０，０，０，０，０，０）

　　（０，１，０，０，０，０，０，０）

　　（０，０，１，０，０，０，０，０）

　　（０，０，０，１，０，０，０，０）

　　（０，０，０，０，１，０，０，０）

　　（０，０，０，０，０，１，０，０）

　　（０，０，０，０，０，０，１，０）

　　（０，０，０，０，０，０，０，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．

　この８個の頂点は√２の等距離にあって正単体をなし，α7の中心座標は

　　（1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8）

で，外接球の半径は

　　｛（１−１／８）^2＋７（１／８）^2｝^1/2＝（７／８）^1/2

というわけである．

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【１】γ8［１６β8］の場合（その１）

　８次のアダマール行列

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

より，

　　±（１，１，１，１，１，１，１，１），

　　±（１，−１，１，−１，１，−１，１，−１），

　　±（１，１，−１，−１，１，１，−１，−１），

　　±（１，−１，−１，１，１，−１，−１，１），

　　±（１，１，１，１，−１，−１，−１，−１），

　　±（１，−１，１，−１，−１，１，−１，１），

　　±（１，１，−１，−１，−１，−１，１，１），

　　±（１，−１，−１，１，−１，１，１，−１）

は８次元超立方体に内接する正軸体の１６頂点になる（辺の長さ√１６＝４）．

　その際，３つおきの頂点を結ぶことになるが，直角三角錐を残すように取り除くと正軸体ができるというわけである．

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【２】γ8［１６β8］の場合（その２）

　８次元の正軸体の作り方はいろいろ可能で，ただしそれらは「見掛け上」の差であり，互いに座標変換で移り得るはずです．実際，８次元空間の超立方体の頂点２^8＝２５６個から１６個を選んで正軸体の頂点にすることは可能で，その具体例を示します．便宜上＋１，−１はわかりにくいので１，０で表し，中心を（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）としました．

　下記の８組の点の対がこの中心について対称であり，中心からそれに向かう直線が互いに直交することが確かめられます．そして相対する点対以外の２点の距離はつねに√４＝２です．

　　（１１１１１１１１）−（００００００００）

　　（１１１０１０００）−（０００１０１１１）

　　（１０１１０１００）−（０１００１０１１）

　　（１００１１０１０）−（０１１００１０１）

　　（１０００１１０１）−（０１１１００１０）

　　（１１０００１１０）−（００１１１００１）

　　（１０１０００１１）−（０１０１１１００）

　　（１１０１０００１）−（００１０１１１０）

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【３】δ8［α8］の場合

　ｎ＝８について，次の９個の格子点は２√２＝√８の等距離にあって正単体をなします．

　　（１１１１１１１１）

　　（２０００００００）

　　（０２００００００）

　　（００２０００００）

　　（０００２００００）

　　（００００２０００）

　　（０００００２００）

　　（００００００２０）

　　（０００００００２）

　多分ｎ＝１５（＝４^2−１）のときも同様の点をとることができると思います．

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【４】γ7［１６α7］の場合

　「ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んでｎ正単体を作ることはできるか」という問題では，全体を１次元挙げて，ｎ＋１正軸体のｎ次元胞をとるのが最も簡単である．したがって，「ｎ＋１次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることはできるか」と同等の問題である．

　便宜上＋１，−１はわかりにくいので１，０で表し，中心を（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）とすると，宿題になっているγ7［１６α7］については，

　（１０００００００）→（１，−１，−１，−１，−１，−１，−１，−１）

　（０１００００００）→（−１，１，−１，−１，−１，−１，−１，−１）

　（００１０００００）→（−１，−１，１，−１，−１，−１，−１，−１）

　（０００１００００）→（−１，−１，−１，１，−１，−１，−１，−１）

　（００００１０００）→（−１，−１，−１，−１，１，−１，−１，−１）

　（０００００１００）→（−１，−１，−１，−１，−１，１，−１，−１）

　（００００００１０）→（−１，−１，−１，−１，−１，−１，１，−１）

　（０００００００１）→（−１，−１，−１，−１，−１，−１，−１，１）

　多分，４の倍数というよりは２^kのときも同様の点をとることができると思います．

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