「ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んでｎ正単体を作ることはできるか」という問題では，全体を１次元あげて，ｎ＋１正軸体のｎ次元胞をとるのが最も簡単である．

　７次元，８次元の複合多面体は（おそらく）８次元のアダマール行列（±１を成分とする直交行列）と関係がある（構成にそれを補助に使う）．未解決問題は「任意の４の倍数に対して，その大きさのアダマール行列が存在するか」です．それ自体は未解決ですが，この場面はおそらくそのような一般次数のものまで必要なく，既に存在が既知の８次（もしかするともう少し先の１２，１６など）のアダマール行列を活用するのだと思われる．

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【１】対角線の長さ

［１］正ｎ＋１胞体

　外接球の半径を√ｎに調整すると，

　　Ｌ1＝√（２（１＋ｎ）），Ｎ1＝ｎ

［２］正２ｎ胞体

　外接球の半径√ｎの正２ｎ胞体を考える．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝ｎ（ｎ−１）／２

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１

［３］正２^n胞体

　外接球の半径を√ｎに調整すると，

　　Ｌ1＝√（２ｎ），Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２√ｎ，Ｎ2＝１

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【２】立方格子の場合

　正単体については正方格子の頂点をうまくとってｎ次元の正単体がうまくできるか？というもう少し一般化された問題は，次元数ｎに依存し，ｎ＝２では不可能，ｎ＝３では可能です．これは体積に含まれる定数√（ｎ＋１）が鍵を握るようなので，どうやら√（ｎ＋１）が整数（すなわちｎ＝ｋ^2−１）のときだけのようです．

　１辺の長さ１のｎ次元超立方体の頂点間の距離は１，√２，√３，・・・，√ｎのいずれかであり，１辺の長さａのｎ次元正単体の体積は（ｎ＋１）^1/2ａ^n／２^n/2ｎ！ですから，格子点を結んでできる単体が正単体になりうる必要条件は（ｎ＋１）^1/2が√２，√３，・・・，√ｎで有理的に表される必要があります．

　これは特定のｎについては可能（例えばｎ＝３なら（ｎ＋１）^1/2＝２で実際可能）ですが，ｎ＝２のとき正方格子の頂点を結んで正三角形ができない（√３が無理数のため）の証明と相通じます．ｎ＝４では（ｎ＋１）^1/2＝√５が邪魔して，同様に不可能と思います．もちろんこれは可能なための必要条件のひとつにすぎず，可能な場合があるかもしれません（例えばｎ＝８について）．

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【３】超立方体の場合

　正方格子点でなくひとつの超立方体の頂点をうまくとって正単体を作ることは，たぶんｎ＝３以外には不可能と思われた．ただその証明は単に奇数次元，偶数次元というだけでなく，もう少し細かい吟味（ｎ＝８といった特別のｎの値について）が欠かせないように感じられる．

　ところが，

　　Coxter, Regular Polytope （改訂版, Dover, 1973），p287

の記述

　　γ7［１６α7］β7

は，７次元の正単体α7が超立方体γ7の頂点に内接する（さらに正軸体β7の胞心に内接する）という意味と思われる．８次元のアダマール行列を補助に使ってそれを構成してみたいのであるが，

　　γ8［１６β8］，［１６γ8］β8

と併せて次回の宿題としたい．

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