今回のコラムでは（その６５）（その６６）で考えたことをもう一度座標に戻って再考したい．ひとつの対角線を含む軸面による切り口は座標をとって調べることができるので，地道に調べてゆくのが本筋かと考えられる．座標幾何学は論理を優先し面白味に欠けるが着実であるというわけである．

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【１】多面体のすべての頂点を求めること

　多面体は連立１次不等式

　　Σａijｘj≦ｂi

を満たす点の集合ですから，シンプレックス法を用いて頂点を探索する必要があるのではないかと考えられました．

　ｎ次元正単体の基本単体の座標は

　　Ｐ0（０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（ａ1，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，ａ2，０，・・・０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn-1，０）

　　Ｐn（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn-1，ａn）

切頂切稜点は

　　Ｑ（ｂ1，・・・，ｂn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）＝ｂ，　　ｂn＝０

である．

［１］基本単体のファセット

　　ｘ1≦ａ1

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2≧０

　　・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-1／ａn-1−ｘn／ａn≧０

　　ｘn≧０

［２］切頂・切稜点Ｑを通り，ＰkＰnに直交する超平面（ｋ＝０〜ｎ−１）

　　（Ｐn−Ｐk）（ｘ−Ｑ）≧０

　ここまで到達できれば，あとはプログラム作りだけの問題となります．次回は，この多面体の頂点の座標をすべて漏れなく求めることを考えてみます．

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【補】面数公式

　一般に，ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．たとえば，正単体では

　　ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．同様に，双対立方体では

　　ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n

立方体では

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ

となります．

　もちろん，

　　正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．

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