２（２^n−１）胞体の元素の頂点数（および胞数）はわかったとしても，中間の次元の辺や面の個数の一般式については気になるところである．

　超立方体の半切体の胞数を数えるだけならば，座標にこだわらず，超立方体を切った切り口がどうなるかを調べた方が早道である．組み合わせ的方法によって求めてみよう．

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【１】ｎ次元の場合の面数

　ｎ次元立方体を切半することを考える．まず切断面上の図形を考える．この切断面はｎ−１次元直方体である．また赤道は２つのｎ−２次元超立方体それ自身と２つのｎ−１次元胞を通る．

　もとの切半体そのものは切断面と交わらない部分，切断面で切られた部分，切断面上の部分からなる．切断面と交わるｊ次元胞の数はＮ（ｎ，ｊ）−Ｎ（ｎ−２，ｊ）×２，交わらない胞のうち片側に含まれる分｛Ｎ（ｎ，ｊ）−Ｎ（ｎ−２，ｊ）×２｝／２，切断面上Ｎ（ｎ−１，ｊ）であるから，

　　ｆ(n,k)＝（Ｎ(n,k)−２Ｎ(n-2,k)）／２＋Ｎ(n-1,k)

＝Ｎ(n,k)／２＋Ｎ(n-1,k)−Ｎ(n-2,k)）

＝２^(n-k-1)nＣk＋２^(n-k-1)n-1Ｃk−２^(n-k-2)n-2Ｃk

ただし，ｋ＝ｎ−１のとき，ｆ(n,k)＝ｎ＋２，ｎ＝２，ｋ＝ｎ−１＝１のとき，ｆ(n,k)＝３とする．

　ｆjをｎ次元多面体のｊ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を各次元における面数とおくと，ｎ次元立方体の半切体は

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（１２，２４，１７，６）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（２４，６０，５８，２７，７）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（４８，１４４，１７６，１１２，３９，８）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（９６，３３６，４９６，４００，１９０，５３，９）

となる．

　阪本ひろむ氏にこの計算を確かめてもらったが，オイラー・ポアンカレの公式を満たさない（奇数次元では２となるものの，偶数次元では０でなく−１）．

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【２】オイラー・ポアンカレの公式

　それぞれｋ＝ｎ，ｎ−１，ｎ−２まで加えると

　　Σ（−１）^kＮ(n,k)＝１

　　Σ（−１）^kＮ(n-1,k)＝１

　　Σ（−１）^kＮ(n-2,k)＝１

それぞれｋ＝ｎ−２まで加えると

［１］ｎが奇数のとき

　　Σ（−１）^kＮ(n,k)＝１−Ｎ(n,n-1)＋Ｎ(n,n)＝２−２ｎ

　　Σ（−１）^kＮ(n-1,k)＝１−Ｎ(n-1,n-1)＝０

　　Σ（−１）^kＮ(n-2,k)＝１

　　Σ（−１）^kｆ(n,k)＝−ｎ

［２］ｎが偶数のとき

　　Σ（−１）^kＮ(n,k)＝１＋Ｎ(n,n-1)−Ｎ(n,n)＝２ｎ

　　Σ（−１）^kＮ(n-1,k)＝１＋Ｎ(n-1,n-1)＝２

　　Σ（−１）^kＮ(n-2,k)＝１

　　Σ（−１）^kｆ(n,k)＝ｎ＋１

　　ｆ(n,n-1)＝ｎ＋２，ｆ(n,n)＝１より，

［１］ｎが奇数のとき

　　Σ（−１）^kｆ(n,k)＝−ｎ＋（ｎ＋２）−１＝１　　（満たす）

［２］ｎが偶数のとき

　　Σ（−１）^kｆ(n,k)＝ｎ＋１−（ｎ＋２）＋１＝０　　（満たさない）

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【３】雑感

　ｎが偶数のときに補正を加えることにする．すなわち，ｋ＝ｎ−１のとき

［１］ｎが奇数のとき，ｆ(n,k)＝ｎ＋２

［２］ｎが偶数のとき，ｆ(n,k)＝ｎ＋１

とすれば辻褄はあうが，本当に単体（胞数ｎ＋１）になるのだろうか？　ｎ＋１胞体は単体であり，超直方体面はもたないのでＮＧ．

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