３次元準正多面体（アルキメデス立体）には１３種類あるが，その内訳は切頂型７種，切頂切稜型４種，ねじれ型２種となる．ねじれ型は３次・４次方程式に帰着されるため，定規とコンパスで作図可能ではない．そこでねじれ型を除くことにすると，３次元準正多面体（切頂型・切頂切稜型）は１１種類になる．

　以下，特殊型を除くｎ次元準正多面体（切頂型・切頂切稜型）を扱うことにするが，第１の問題はまずどれだけの種類があるかということになる．結論を先にいうと，

　　　　　　　　　正多面体　　　準正多面体

３次元　　　　　　　５　　　　　　　１１

４次元　　　　　　　６　　　　　　　７９

５次元　　　　　　　３　　　　　　　４７

６次元　　　　　　　３　　　　　　　９５

ｎ（≧５）次元　　　３　　　　　　　２^n＋２^(n-1)＋２^［(n-1)/2］−５

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【１】４次元正多面体の元素

　元素としてＲＰ（５胞体）を使うと，構成元素数は

正８胞体　　　　２４個

正１６胞体　　　１６個

正２４胞体　　１９２個

　Ｈ4（６胞体）では

正８胞体　　　　７６８個

正１６胞体　　　　　×個

正２４胞体　　　３８４個

となる．

　Ｈ4で正１６胞体を構成できないのは，正１６胞体は空間充填多面体ではあっても平行多面体ではないからである．

　　　　　　　　空間充填多面体　　　平行多面体

正８胞体　　　　　　　○　　　　　　　　○

正１６胞体　　　　　　○　　　　　　　　×

正２４胞体　　　　　　○　　　　　　　　○

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【２】４次元正準多面体の元素

　Ｈ4は正２４胞体の元素にはなっても，原始的３０胞体の元素とはならない（はずである．未証明）．

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