■作図不可能な正7角形と作図可能な正17角形(その3)

 正5角形の作図ではy=x+1/xとおいて作図可能であることをうまく証明できたが,正17角形ではこの変数変換では失敗する.

  z=x^4+x+1/x+1/x^4

  w=x^8+x^4+x^2+x+1/x+1/x^2+1/x^4+1/x^8

と変数変換すると(もう1ステップ要するが)n=5の場合と全く同様に証明することができる.

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 16次方程式

  x^16+x^15+・・・・+x+1=0

の両辺をx^8でわり,

  y=x+1/x=2cos(2π/17)

と変数変換をし,最後に2次方程式に帰着させると失敗する.

  z=x^4+x+1/x+1/x^4

  w=x^8+x^4+x^2+x+1/x+1/x^2+1/x^4+1/x^8

と変数変換する手がある.

  ζ=cos(2π/17)+isin(2π/17)

  y=ζ+ζ^-1=2cos(2π/17)

  y’=ζ^4+ζ^-4

  z=ζ+ζ^4+ζ^-1+ζ^-4

  z’=ζ^2+ζ^8+ζ^-2+ζ^-8

  w=ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^-1+ζ^-2+ζ^-4+ζ^-8

  w’=ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^-3+ζ^-5+ζ^-6+ζ^-7

とおく.

  x^16+x^15+・・・・+x+1=0

より,w+w’=−1,ww’=−4となるから,wはx^2+x−4=0の根.  w=(√17−1)/2=1.56155

 同様に,

  z+z’=w,zz’=−1となるから,zはx^2−wx−1=0の根.  z=(w+√(w^2+4))/2=(−1+√17+√(34−2√17))/4=2.04948

  y+y’=z,yy’=ζ^3+ζ^5+ζ^-3+ζ^-5=z”,z”’=ζ^6+ζ^7+ζ^-6+ζ^-7とおくと,

  z”+z”’=w’,z”z”’=−1

となるから,z”はx^2−w’x−1=0の根.

  z”=(−1−√17+√(34+2√17))/4

 yはx^2−yx+y”=0の根より,

  y=2cos(2π/17)=1/8{−1+√17+√(34−2√17)+2√(17+3√17+√(170−26√17)−4√(34+2√17)}=1.86494

が得られる.→コラム「初等幾何の楽しみ(その24)」参照

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