【１】正軸体の場合

　８次元空間の超立方体の頂点２^8＝２５６個から１６個を選んで正軸体の頂点にすることは可能で，その具体例を示します．便宜上＋１，−１はわかりにくいので１，０で表し，中心を（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）としました．

　下記の８組の点の対がこの中心について対称であり，中心からそれに向かう直線が互いに直交することが確かめられます．そして相対する点対以外の２点の距離はつねに√４＝２です．

　　（１１１１１１１１）−（００００００００）

　　（１１１０１０００）−（０００１０１１１）

　　（１０１１０１００）−（０１００１０１１）

　　（１００１１０１０）−（０１１００１０１）

　　（１０００１１０１）−（０１１１００１０）

　　（１１０００１１０）−（００１１１００１）

　　（１０１０００１１）−（０１０１１１００）

　　（１１０１０００１）−（００１０１１１０）

［補］８次のアダマール行列

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

より，

　　±（１，１，１，１，１，１，１，１），

　　±（１，−１，１，−１，１，−１，１，−１），

　　±（１，１，−１，−１，１，１，−１，−１），

　　±（１，−１，−１，１，１，−１，−１，１），

　　±（１，１，１，１，−１，−１，−１，−１），

　　±（１，−１，１，−１，−１，１，−１，１），

　　±（１，１，−１，−１，−１，−１，１，１），

　　±（１，−１，−１，１，−１，１，１，−１）

は８次元超立方体に内接する正軸体の１６頂点になる（辺の長さ√１６＝４）．

　その際，３つおきの頂点を結ぶことになるが，直角三角錐を残すように取り除くと正軸体ができるというわけである．

　８次元の正軸体の作り方はいろいろ可能である．ただしそれらは「見掛け上」の差であり，互いに座標変換で移り得るはずである．

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【２】正単体の場合

　正単体については正方格子の頂点をうまくとってｎ次元の正単体がうまくできるか？というもう少し一般化された問題は，次元数ｎに依存し，ｎ＝２では不可能，ｎ＝３では可能です．これは体積に含まれる定数√（ｎ＋１）が鍵を握るようなので，どうやら√（ｎ＋１）が整数（すなわちｎ＝ｋ^2−１）のときだけのようです．

　ｎ＝８について，次の９個の格子点は２√２＝√８の等距離にあって正単体をなします．

　　（１１１１１１１１）

　　（２０００００００）

　　（０２００００００）

　　（００２０００００）

　　（０００２００００）

　　（００００２０００）

　　（０００００２００）

　　（００００００２０）

　　（０００００００２）

　多分ｎ＝１５（＝４^2−１）のときも同様の点をとることができると思います．

　正方格子点でなくひとつの超立方体の頂点をうまくとって正単体を作ることは，たぶんｎ＝３以外には不可能と思われる．ただその証明は単に奇数次元，偶数次元というだけでなく，もう少し細かい吟味（ｎ＝８といった特別のｎの値について）が欠かせないように感じられる．

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