Ｓ1＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ2＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ3＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Ｓ4＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Ｓ5＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Ｓ6＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Ｓ7＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

　ベルヌーイはこの式の列を見て，次のようなパターンを発見しました．一般式の形で書くと，Ｓs=Σｋ^sは

　　Ｓs=1/(s+1){Ｂ0n^(s+1)+(s+1,1)Ｂ1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}

　　=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

と，ベルヌーイ数Ｂnを含む式で表すことができます．

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　具体的に係数Ｂn を求めてみましょう．有名なベルヌーイ数列｛Ｂn｝の指数型母関数は

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）

で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝Ｂ0/０！＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・＝ΣＢnｘ^n／ｎ！

で定義される有理数で，係数Ｂnはベルヌーイ数と呼ばれます．容易にわかるように，lim(x→0)ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝１が成立します．

　定義より，ベルヌーイ級数は，べき級数

　　（ｅｘｐ(x)−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ＋１／３！ｘ^2＋１／４！ｘ^3＋・・・

の反転級数と考えることができます．

　　ｅｘｐ(x)＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・

ですから

ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

　これより，Ｂ0＝１，Ｂ1 ＝−１／２で

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ(x)＋１）／（ｅｘｐ(x)−１）

は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．

　ベルヌーイ数については，再帰公式

　　（Ｂ＋１）^n-Ｂ＾n＝０

が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となっています．

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