６種類ある４次元正多胞体の包含関係を考えよう．興味深いことに，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．

　その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．

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【１】頂点による包含関係（inclusion property）

　頂点の関係から，６種類の４次元正多胞体の包含関係（巡礼）をまとめると，

　　正１６胞体≦正８胞体≦正２４胞体≦正６００胞体≦正１２０胞体

　　正５胞体≦正１２０胞体

となる．すなわち，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．

　なお，１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．４次元正多胞体の中で正５胞体は何か異端児である．

　ともあれ，頂点による包含関係が確定したところで，４次元正多胞体の元素を構成するを考えよう．正６００胞体は正２４胞体のroofをなすが，正１２０胞体は正６００胞体のroofをなすと同時に，正５胞体のroofもなす．３次元の場合でいえばδが２個あるようなもので，正５胞体と正１２０胞体をそれぞれ単独でひとつの元素とみなしても同じことである．

　実際，正１６胞体と正８胞体の間のroofをＲＰとすると

　　ＲＰ１６個　→　正１６胞体

　　ＲＰ２４個　→　正８胞体

　　ＲＰ１９２個→　正２４胞体

となり，４種類の元素（ＲＰ，正５胞体，正６００胞体，正１２０胞体）があればすべての４次元正多胞体を構成できることがわかった．「４次元正多胞体の元素数は≦４である」ことが証明されたことになる．

　この構成法はbest possibleと考えられ，４次元正多胞体をどのように分割し，接合しても元素数は４より減らせそうにないことから

　　［予想］４次元正多胞体の元素数は４である．

と予想される．この状況をなんとか打破することはできないだろうか？

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