円周上にｎ点が等間隔に配置されているとき，それらを結んでできる幾何学的図形をポアンソの星という（ポアンソは剛体力学の研究で知られるフランスの数学者）．

　正ｎ角形では辺も含めてｎ（ｎ−１）／２本の対角線があるが，ｎが偶数のときは辺も含めてｎ／２個の異なる対角線があり，奇数のときは（ｎ−１）／２個の異なる対角線がある．

［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．すべての辺（ｎ本）と対角線（ｎ（ｎ−３）／２本），合計ｎ（ｎ−１）／２本の長さの平方和（sum of squares）を求めよ．

［Ａ］ｎが奇数のときも偶数のときもＳＳ＝ｎ^2．ｎのパリティーによって違いを生じない．

　これは，正ｎ角形が半径１の円に内接しているとき，

［定理１］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの２乗和は頂点数の２倍に等しい．

　　Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ

と同値である．

　さらに，

［定理２］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数ｎに等しい．

　　Π(1,n-1)ｄj＝ｎ

［定理３］対角線の長さの平方の逆数の和公式

　　Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝（ｎ^2−１）／１２

が成立する．

　これらを拡張する方向としては，ひとつには次元を大きくすること（単位円→単位球→ｄ次元単位球），もうひとつには指数を大きくすることである（Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ→Σ(1,n-1)ｄj^m＝？）．

　結論を先にいうと定理１は任意の次元で通用するのに対して，定理２，３は２次元の場合のみで成立する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】定理１の普遍性

［Ｑ］ｎ個の頂点（Ｐ1，・・・，Ｐn）をもつ正多面体が半径１の球に内接しているとき，Ｑ＝Σ(2,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2＝Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2の値を求めよ．

［Ａ］内積をつかえば

　　Ｑ＝（Ｐ1−Ｐ1）・（Ｐ1−Ｐ1）＋（Ｐ2−Ｐ1）・（Ｐ2−Ｐ1）＋・・・＋（Ｐn−Ｐ1）・（Ｐn−Ｐ1）

　ベクトル解析では原点はどこでも好きなところに選ぶことができるから，（Ｐ1を原点とするのではなく）球の中心に原点をおくと，

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj

　　Ｐj・Ｐj＝１

より

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj＝２−２Ｐ1・Ｐj

よって

　　Ｑ＝２ｎ−２Ｐ1・（Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐn）

が得られる．

　正多面体の重心は原点にあるから，その対称性より，

　　Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐn＝０，Ｑ＝２ｎ

すべての辺と対角線の長さの平方和ＳＳは，すべての頂点において同じ線分が２回ずつ数えられていることから

　　ＳＳ＝ｎ／２×Ｑ＝ｎ^2　　　（ＱＥＤ）

　この議論は３次元のみならず，一般の次元についても成立するものであるから，すべての次元で単位球に内接する正多面体（頂点数ｎ）のすべての辺と対角線の長さの平方和はｎ^2で与えられることになる．

　すべての次元で単位球に内接する正多胞体（頂点数ｎ）のすべての辺と対角線の長さの平方和はｎ^2で与えられるのであるが，それを計算で確認するには結構骨が折れる．なかでも４次元正１２０胞体の場合は最も厄介であろう．

［Ｑ］この定理を用いて，単位球に内接するｎ次元正単体の１辺の長さを求めよ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　外接球を有し，頂点が中心対称性に配置されている多面体は

　　Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐn＝０

を満たすが，正四面体のように中心対称でなくともΣＰj＝０となる多面体は存在する．

［１］正多面体

　すべて，外接球を有しΣＰj＝０を満たす（正四面体は中心対称でない）

［２］準正多面体

　すべて，外接球を有しΣＰj＝０を満たす（切頂四面体，ねじれ立方体，ねじれ十二面体は中心対称でない）

［３］アルキメデス角柱

　すべて，外接球を有しΣＰj＝０を満たす（Ｐ3，Ｐ5，・・・は中心対称でない）

［４］アルキメデス反角柱

　すべて，外接球を有しΣＰj＝０を満たす（Ａ5は中心対称）

［５］ジョンソン立体

　Ｊ27，Ｊ34，Ｊ37，Ｊ72-75，Ｊ80は外接球を有しΣＰj＝０を満たす（Ｊ73，Ｊ80は中心対称）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】対角線の全長の２乗と対角線の２乗の総和の不等式

　等式の世界は面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．対角線の本数は（辺も含めて）ｎ（ｎ−１）／２＝Ｎ，対角線の長さの２乗の総和は頂点数の２乗ｎ^2となるが，対角線の全長については何かいえるだろうか？

　　ｕ＝（１，１，・・・，１），ｖ＝（ｄ1，ｄ2，・・・，ｄN）

に対して，コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，

　　（Σｄi）^2≦Ｎ・Σｄi^2＝ｎ^3（ｎ−１）／２

等号が成立するのは，ｄ1＝ｄ2＝・・・＝ｄNであるから，正単体に限られる．

　なお，

　　（Σｄi）^2＜ｎ^4／２　→　　Σｄi＜０．７ｖ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】定理２と定理３の証明

　半径１の円に内接する正ｎ角形の一頂点から他のｎ−１個の頂点への距離の積がｎに等しいことは，三角関数で表現すれば

　 ｜Ｐ0Ｐk｜＝２ｓｉｎ（ｋπ／ｎ）

だから，以下の問題を証明するということになる．

　　Ｑ＝Π(1,n-1)｜Ｐ0Ｐj｜＝ｎ

　　Ｒ＝Σ(1,n-1)１／｜Ｐ0Ｐj｜^2＝（ｎ^2−１）／１２

［Ａ］正弦・余弦の和公式ほどよく知られていないが，正弦・余弦の積公式としていろいろな公式が登場してくる．

　　Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ＝ｎ／２^(n-1)

より，Ｑ＝ｎが示される．

　また，正弦関数の積公式

　　Πｓｉｎ（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

から，対数微分により，コタンジェントの和公式

　　Σｃｏｔ（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｎｃｏｔ（ｎθ）

さらにこれを微分することによって，正弦関数の平方の逆数の和公式

　　Σ１／ｓｉｎ^2（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｎ^2／ｓｉｎ^2（ｎθ）

が得られる．

　ｘ→∞とすることによって，

　　Π(1,n-1)ｓｉｎｋπ／ｎ＝ｎ／２^n-1

　　Σ(1,n-1)１／ｓｉｎ^2ｋπ／ｎ＝（ｎ^2−１）／３

が得られる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】正五角形の作図可能性の証明

　辺の長さをｘ，対角線の長さをｙとすると（ｘ＜ｙ），

　　［定理１］→２ｘ^2＋２ｙ^2＝１０，ｘ^2＋ｙ^2＝５

　　［定理２］→ｘ^2ｙ^2＝５

　x^2、ｙ^2は２次方程式

　　Ｘ^2−５Ｘ＋５＝０

の２実根であるから，

　　ｘ^2＝（５−√５）／２，ｙ^2＝（５＋√５）／２

すなわち，（複）２次方程式の範囲内で（ｘ，ｙ）が求まる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【５】次元と指数を大きくすると

　定理１の面白いところは，２次元図形だけでなくすべての次元で通用することである．すなわち，すべての次元において，単位球に内接する正多胞体のすべての辺と対角線の長さの平方和はｎ^2で与えられることになる．無理数でなく整数！　この美とエレガンス（気品）を鑑賞していただけたであろうか．

［１］指数を大きくすると（偶数次）

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方和は２ｎに等しい

は任意の次元で成り立つ定理であるが，

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の４乗和は６ｎに等しい

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の６乗和は２０ｎに等しい

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の８乗和は７０ｎに等しい

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

は正しい公式であるが，ｎ＞ｍであることが必要となる．したがって，６乗和公式，８乗和公式は正三角形に対しては成り立たない．８乗和公式は正方形に対しては成り立たない．

　　ｍ＝１　→　（２ｍ，ｍ）＝２

　　ｍ＝２　→　（２ｍ，ｍ）＝６

　　ｍ＝３　→　（２ｍ，ｍ）＝２０

　　ｍ＝４　→　（２ｍ，ｍ）＝７０

　　ｍ＝５　→　（２ｍ，ｍ）＝２５２

　　ｍ＝６　→　（２ｍ，ｍ）＝９２４

　　ｍ＝７　→　（２ｍ，ｍ）＝３４３２

　　ｍ＝８　→　（２ｍ，ｍ）＝１２８７０

と続く．

　また，

　　（Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^2m＋Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2m）／２＝（２ｍ，ｍ）ｎ　　（ｎ＞ｍ／２）

が成り立つ．

［２］次元も大きくすると

　　ｍ＜０のとき，（正多面体）＜（正多角形）

　　ｍ＝０のとき，（正多面体）＝（正多角形）

　　ｍ＝１のとき，（正多面体）＞（正多角形）

　　ｍ＝２のとき，（正多面体）＝（正多角形）

　　ｍ＞２のとき，（正多面体）＜（正多角形）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝