（その１２４）では２（２^n−１）胞体の頂点図形を取り上げた．今回は３^n−１胞体に移ってみるが，どちらも単純多面体なので，２^n＋２ｎ胞体よりも簡単になるかもしれない．

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【１】正軸体版の場合

［１］切頂・切稜点

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ω＝ω

となることが理解される．

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　ａj＝１として，切頂・切稜点Ｑ（ｂ1，ｂ2，・・・，ｂn-1，ｂn）から，

　　ｘ1／ａ1−１＝０平面

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

に下ろした垂線の足の座標を（Ｘ1，Ｘ2，・・・，Ｘn）とすると，

［１］ｘ1／ａ1−１＝０平面

　　Ｘ1−ｂ1＝１／ａ1（１−ｂ1／ａ1）／（１／ａ1^2），

　　Ｘ2−ｂ2＝０，・・・，Ｘn−ｂn＝０

［２］ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　Ｘ1−ｂ1＝１／ａ1（ｂ1／ａ1−ｂ2／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2）

　　Ｘ2−ｂ2＝１／ａ2（ｂ1／ａ1−ｂ2／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2），・・・，Ｘn−ｂn＝０

［３］ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

　　Ｘ1−ｂ1＝０，Ｘ2−ｂ2＝０

　　Ｘn-2−ｂn-2＝１／ａn-2（ｂn-2／ａn-2−ｂn-1／ａn-1）／（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2）

　　Ｘn-1−ｂn-1＝１／ａn-1（ｂn-2／ａn-2−ｂn-1／ａn-1）／（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2），Ｘn−ｂn＝０

［４］ｘn／ａn−ｘn／ａn＝０平面

　　Ｘ1−ｂ1＝０，Ｘ2−ｂ2＝０，・・・，Ｘn-2−ｂn-2＝０

　　Ｘn-1−ｂn-1＝１／ａn-1（ｂn-1／ａn-1−ｂn／ａn）／（１／ａn-1^2＋１／ａn^2）

　　Ｘn−ｂn＝１／ａn（ｂn-1／ａn-1−ｂn／ａn）／（１／ａn-1^2＋１／ａn^2）

［５］ｘn／ａn−ｘ1／ａ1＝０平面

　　Ｘ2−ｂ2＝０，・・・，Ｘn-2−ｂn-2＝０，Ｘn-1−ｂn-1＝０，

　　Ｘn−ｂn＝１／ａn（ｂn／ａn−ｂ1／ａ1）／（１／ａn^2＋１／ａ1^2）

　　Ｘ1−ｂ1＝１／ａ1（ｂn／ａn−ｂ1／ａ1）／（１／ａn^2＋１／ａ1^2）

　なお，ここで

　　｜ｘ1／ａ1｜／√（１／ａ1^2）＝｜ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2｜／√（１／ａ1^2＋１／ａ2^2）＝｜ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1｜／√（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2）

が成り立っている．また，Ｐn，Ｑを通り，それらを２等分する超平面は存在しないことを申し添えておく．

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　したがって，頂点図形は

［１］（１／ａ1（１−ｂ1／ａ1）／（１／ａ1^2），０，・・・，０）

［２］（１／ａ1（ｂ1／ａ1−ｂ2／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2），１／ａ2（ｂ1／ａ1−ｂ2／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2），０，・・・，０）

［３］（０，０，・・・，１／ａn-2（ｂn-2／ａn-2−ｂn-1／ａn-1）／（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2），１／ａn-1（ｂn-2／ａn-2−ｂn-1／ａn-1）／（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2），０），・・・

となる．

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