【１】これまで

　これまでの経過をまとめておきたい．最終的に

　　置換多面体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　正軸体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

として，

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとまった．また，ｆn^(n)＝１とすれば（ｋ≦ｎ−１）とすることもできる．もちろん，立方体版ではこの双対をとって

　　立方体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(n-k)nＣk

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−１）

が成り立つ．

　先人達も苦心した難題はこれで完結．次は空間充填２^n＋２ｎ面体の番である．わかっているのは

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（４，４）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３６，１４）＝切頂八面体

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）＝正２４細胞体の３つだけであり，また，ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるということである．すなわち，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要がある．また，ｆ1＝ｎ／２・ｆ0も成り立たないから単純多面体ではないし，置換多面体にみられた逐次構造も有していないようである．

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　空間充填２^n＋２ｎ面体は

［１］ｎ次元立方体を超平面：ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で切頂する

あるいは

［２］ｎ次元正軸体を超平面：ｘ1＝２／ｎで切頂する

ことによって得られることから，その面数公式について，

［１］正軸体の面数公式・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　　立方体の面数公式・・・・Ｎk^(n)＝２^(n-k)nＣk

を組み合わせたものになること

［２］ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるため，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要がある

［３］ｆ1＝ｎ／２・ｆ0も成り立たないから単純多面体ではないし，置換多面体にみられた逐次構造も有していないようである

と予想されるが，本当だろうか？

　実際やってみると一筋縄ではいかない問題であることがわかる．頂点数，辺数までは個別にうまく計算できたものの２次元面数公式でゆきづまった．ｎ≧４では数種類の図形が現れて，複雑に絡み合うのが原因である．

［１］正軸体の面数公式・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　　立方体の面数公式・・・・Ｎk^(n)＝２^(n-k)nＣk

を組み合わせたものになればわかりやすのだが・・・

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【２】これから

　「５次元正軸体を切った図形では切頂四面体と正八面体で囲まれた４次元の胞が表面になる．６次元の正軸体の場合，正四面体と正八面体になる．」という点で，一松信先生と意見が一致した．

　５次元では切頂四面体ｘ個と正八面体ｙ個が点Ｐに隣接していることが確かめられれば

　　ｆ3＝（ｘ／１２＋ｙ／６）・ｆ0

６次元では正四面体ｘ個と正八面体ｙ個が点Ｐに隣接していることが確かめられれば

　　ｆ3＝（ｘ／４＋ｙ／６）・ｆ0

となる．

　（その１１１）は間違いということになるのだが，もう一押ししてみることにしたい．

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